Question

已知直角梯形ABCD，AB∥CD，∠C=90°，AB=BC=CD，E为CD的中点．
（1）如图（1）当点M在线段DE上时，以AM为腰作等腰直角三角形AMN，判断NE与MB的位置关系和数量关系，请直接写出你的结论；
（2）如图（2）当点M在线段EC上时，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？请说明理由．

Answer 1

解：（1）NE=MB且NE⊥MB．

（2）成立．
理由：连接AE．

∵E为CD中点，AB=BC=CD，
∴AB=EC．
又　AB∥CD，
即　AB∥CE．
∴四边形ABCE为平行四边形．
∵∠C=90°，
∴四边形ABCE为矩形．
又　AB=BC，
∴四边形ABCE为正方形．
∴AE=AB．
∵等腰直角三角形AMN中，
∴AN=AM，∠NAM=90°．
∴∠1+∠2=90°．
又∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3．
∴△NAE≌△MAB．
∴NE=MB．
延长NE、BM交于点F．
由△NAE≌△MAB可得，
∠AEN=∠ABM．
∴∠4=∠6．
∵∠5=∠6，
∴∠4=∠5．
又∠EMF=∠BMC，
∴∠EFB=∠C=90°．
∴BM⊥NE．
分析：（1）NE=MB且NE⊥MB，可以利用测量的方法得到结论；
（2）首先证明四边形ABCE为正方形，进而可以证得△NAE≌△MAB，根据全等三角形的对应边相等，即可证得：NE=MB；延长NE、BM交于点F．证明∴∠EFB=∠C=90°即可证得：NE⊥MB．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，以及正方形的判定与性质，正确证得四边形ABCE为平行四边形是关键．