Question

13、正整数n满足以下条件：任意n个大于1且不超过2009的两两互素的正整数中，至少有一个素数，求最小的n．

Answer 1

分析：根据2²，3²，5²，7²，11²，13²，17²，19²，23²，29²，31²，37²，41²，43²这14个合数都小于2009且两两互质，得到n≥15，再根据n=15时得到合数a₁₅的最小素因子p₁₅≥p₁₅²≥47＞2009，推出矛盾，从而推出n最小是15．

解答：解：由于2²，3²，5²，7²，11²，13²，17²，19²，23²，29²，31²，37²，41²，43²这14个合数都小于2009且两两互质，
因此n≥15．
而n=15时，我们取15个不超过2009的互质合数a₁，a₂，…，a₁₅的最小素因子p₁，p₂，，p₁₅，
则必有一个素数≥47，不失一般性设p₁₅≥47，
由于p₁₅是合数a₁₅的最小素因子，
因此a₁₅≥p₁₅²≥47＞2009，矛盾．
因此，任意15个大于1且不超过的互质正整数中至少有一个素数．
综上所述，n最小是15．
故答案为：15．

点评：此题考查了质数、合数的定义以及互质的定义，并会利用反正法解答．