Question

二次函数y=mx²+（m-2）x-2（m＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A坐标；
（2）当∠ABC=45°时，①求m的值；②将此抛物线向下平移

7

4

个单位后，得到抛物线C′，且与x轴的左半轴交于M点，与y轴交于N点，请在抛物线C′上求点P，使得△MNP是以N，M为顶点直角的直角三角形．

Answer 1

分析：（1）根据已知y=mx ²+（m-2）x-2可化为两根式y=（mx-2）（x+1），进而得出A点坐标即可；
（2）①当∠ABC=45°时，则△OBC为等腰直角三角形，OB=OC=

2

m

=2，求出m即可；
②使得△MNP是以N，M为顶点直角的直角三角形的两种情况：Ⅰ：当PM垂直MN时，Ⅱ：当PN垂直MN时，分别求出即可．

解答：解：（1）二次函数y=mx ²+（m-2）x-2可化为两根式y=（mx-2）（x+1），
则与x轴交点的横坐标x₁=

2

m

，x₂=-1，
∵点A在点B的左侧，m＞0，
∴A点坐标为（-1，0）；

（2）①点C坐标可求得为（0，-2），
当∠ABC=45°时，则△OBC为等腰直角三角形，
OB=OC=

2

m

=2，
即m=1，
②二次函数的解析式为y=x²-x-2；
将二次函数y=x²-x-2向下平移

7

4

个单位后，得到抛物线C'，
则抛物线C'的解析式为y=x²-x-

15

4

，
求得M的坐标为（-

3

2

，0）、N的坐标为（0，-

15

4

），
直线MN的解析式为y=-

5

2

x-

15

4

，
在抛物线C'上求点P，使得△MNP是以N，M为顶点的直角三角形的两种情况：
Ⅰ：当PM垂直MN时，
∵直线MN的解析式为y=-

5

2

x-

15

4

，
∴设直线PM的解析式为：y=

2

5

x+b，
∵M的坐标为（-

3

2

，0），
∴

2

5

×（-

3

2

）+b=0，解得b=

3

5

，
∴PM的解析式为：y=

2

5

x+

3

5

，
联立y=x²-x-

15

4

，
解得x=

29

10

，y=

44

25

，
所以P的坐标为（

29

10

，

44

25

）；
Ⅱ：当PN垂直MN时，
PN的解析式可求得为y=

2

5

x-

15

4

，
联立y=x²-x-

15

4

，
解得x=

7

5

，y=-

319

100

，
所以P的坐标为（

7

5

，-

319

100

）．

点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及等腰直角三角形的性质和函数交点坐标求法，根据已知的画出函数图象进而求出是解题关键．