Question

如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，∠DAB与∠ADC的平分线相交于BC边上的M点，则下列结论：①∠AMD=90°；②M为BC的中点；③AB+CD=AD；④S△ADM=

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2

S梯形ABCD；⑤M到AD的距离等于BC的一半；其中正确的有（　　）

A．2个

B．3个

C．4个

D．5个

Answer 1

分析：过M作ME⊥AD于E，得出∠MDE=

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2

∠CDA，∠MAD=

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2

∠BAD，求出∠MDA+∠MAD=

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2

（∠CDA+∠BAD）=90°，根据三角形内角和定理求出∠AMD，即可判断①；根据角平分线性质求出MC=ME，ME=MB，即可判断②和⑤；由勾股定理求出DC=DE，AB=AE，即可判断③；根据SSS证△DEM≌△DCM，推出S_三角形DEM=S_三角形DCM，同理得出S_三角形AEM=S_三角形ABM，即可判断④．

解答：解：
过M作ME⊥AD于E，
∵∠DAB与∠ADC的平分线相交于BC边上的M点，
∴∠MDE=

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∠CDA，∠MAD=

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∠BAD，
∵DC∥AB，
∴∠CDA+∠BAD=180°，
∴∠MDA+∠MAD=

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（∠CDA+∠BAD）=

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×180°=90°，
∴∠AMD=180°-90°=90°，∴①正确；
∵DM平分∠CDE，∠C=90°（MC⊥DC），ME⊥DA，
∴MC=ME，
同理ME=MB，
∴MC=MB=ME=

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BC，∴②正确；
∴M到AD的距离等于BC的一半，∴⑤正确；
∵由勾股定理得：DC²=MD²-MC²，DE²=MD²-ME²，
又∵ME=MC，MD=MD，
∴DC=DE，
同理AB=AE，
∴AD=AE+DE=AB+DC，∴③正确；
∵在△DEM和△DCM中

DE=DC DM=DM ME=MC

，
∴△DEM≌△DCM（SSS），
∴S_三角形DEM=S_三角形DCM
同理S_三角形AEM=S_三角形ABM，
∴S_三角形AMD=

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2

S_梯形ABCD，∴④正确；
故选D．

点评：本题考查了角平分线性质，垂直定义，直角梯形，勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．