Question

已知二次函数y＝x²－x＋c．

(1)若点A(－1，n)、B(2，2n－1)在二次函数y＝x²－x＋c的图象上，求此二次函数的最小值；

(2)若点D(x₁，y₁)、E(x₂，y₂)、P(m，m)在二次函数y＝x²－x＋c的图象上，且D、E两点关于坐标原点成中心对称，连接OP．当2≤OP≤2＋时，试判断直线DE与抛物线y＝x²－x＋c＋的交点个数，并说明理由．

Answer 1

(1)抛物线y＝x²－x＋c的对称轴是x＝，

　 且 －(－1) ＝2－，∴ A、B两点关于对称轴对称.　　　　　　　　　　　　　　

　 ∴ n＝2n－1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　 ∴ n＝1，c＝－1.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　 ∴ 有 y＝x²－x－1　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　

　　　　　 ＝(x－)²－.　　　　　　　　　　　　　　　　　

　 ∴ 二次函数y＝x²－x－1的最小值是－.　　　　　　　　　　　　 　

(2)解：∵ 点P(m，m)(m＞0)，

　 ∴ PO＝m.

　 ∴ 2≤m ≤＋2.

　 ∴ 2≤m≤1＋.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　 法1： ∵ 点P(m，m)(m＞0)在二次函数y＝x²－x＋c的图象上，

　 ∴ m＝m²－m＋c，即c＝－m²＋2m.

　 ∵ 开口向下，且对称轴m＝1，

　 ∴ 当2≤m≤1＋ 时，

　 有 －1≤c≤0. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　 法2：∵ 2≤m≤1＋，

　 ∴ 1≤m－1≤.

　 ∴ 1≤(m－1)²≤2.

　 ∵ 点P(m，m)(m＞0)在二次函数y＝x²－x＋c的图象上，

　 ∴ m＝m²－m＋c，即1－c＝(m－1)².

　 ∴ 1≤1－c≤2.

　 ∴ －1≤c≤0. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　 ∵ 点D、E关于原点成中心对称，

　 法1： ∴ x₂＝－x₁，y₂＝－y₁.

　 ∴

　 ∴ 2y₁＝－2x₁， y₁＝－x₁.　　　　　　　　　　　　　　　　　

　 设直线DE：y＝kx.

　 有 －x₁＝kx₁.

　　 由题意，存在x₁≠x₂. 　　　　　　　　　　　　　　

　　 ∴ 存在x₁，使x₁≠0.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　 ∴ k＝－1.

　 ∴ 直线DE： y＝－x. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　

　　 若 _{则有 x²＋c＋＝0.即 x²＝－c－.}

　　 ① 当 －c－＝0时，即c＝－时，方程x²＝－c－有相同的实数根，

　　 即直线y＝－x与抛物线y＝x²－x＋c＋有唯一交点.　　　　　　　

　　 ② 当 －c－＞0时，即c＜－时，即－1≤c＜－时，

　　 方程x²＝－c－有两个不同实数根，

　　 即直线y＝－x与抛物线y＝x²－x＋c＋有两个不同的交点.　　　

　　 ③ 当 －c－＜0时，即c＞－时，即－＜c≤0时，

　　 方程x²＝－c－没有实数根，

　　 即直线y＝－x与抛物线y＝x²－x＋c＋没有交点.