Question

如图1，四边形ABCD,AEFG都是正方形，E、G分别在AB、AD边上，已知AB=4．

（1）求正方形ABCD的周长；

（2）将正方形AEFG绕点A逆时针旋转（）时，如图2，

求证：BE=DG．

（3）将正方形AEFG绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BE交DG于点H,

设BH与AD的交点为M．

①求证：BH⊥DG；

②当AE=时，求线段BH的长（精确到0.1）．

Answer 1

（1）16　　2分

（2）∵四边形ABCD,AEFG都是正方形

∴AB=AD,AE=AG,∠BAE=∠DAG=　　3分

∴△BAE≌△DAG　4分　

∴BE=DG　　　5分

（3）①∵△BAE≌△DAG  ∴∠ABE=∠ADG　　6分

     　　  又∠AMB=∠DMH     ∴∠DHM=∠BAM=90°　

   　 　　 ∴BH⊥DG　　　7分

②连结GE交AD于点N．

 　　　 ∵AEFG是正方形,  ∴AF与EG互相垂直平分

 　　 ∴AN=GN=1      ∴DG=　　　8分

 　　　法一：连结DE

         S_△DEG=GE·ND=DG·HE     10分

         ∴HE=     11分

∵EB=DG=

∴BH=BE+HE=+≈5.1　　　12分

法二： 连结BD,BG

 　　 　S_{四边形ABDG}＝S_△BDG+S_△ABG=S_△ADG+S_△ABD10分

   　　 ∴DG·BH+AB·NA=AD·GN+AB·AD     11分

   　 ∴BH=≈5.1　　　12分