Question

已知：如图(a)，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AD和BC相交于点E，EF⊥BD，垂足为F，可以证明＋＝成立(不要求考生证明)．

若将图(a)中的垂直改为斜交，如图(b)，AB∥CD，AD、BC相交于点E，过点E作EF∥AB交BD于点F，则

(1)＋＝还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．

(2)请找出S_△ABD，S_△BED和S_△BDC间的关系式，并给出证明．

Answer 1

答案：
解析：

证明：如图． 　　(1)∵AB∥EF，∴＝． 　　∵CD∥EF，∴＝． 　　∴＋＝＋＝＝1． 　　∴＋＝． 　　(2)关系式为： 　　＋＝． 　　证明如下：分别过A作AM⊥BD于M，过E作EN⊥BD于N，过C作CK⊥BD交BD的延长线于K． 　　由题设可得：＋＝． 　　∴＋＝， 　　即＋ 　　＝ 　　又∵BD·AM＝S△ABD，BD·CK＝S△BCD，BD·EN＝S△BED， 　　∴＋＝．

提示：

(1)本题告诉我们AB、CD、EF在具备特殊条件(AB⊥BD，CD⊥BD，EF⊥BD)推出平行时，有结论＋＝．题目要求我们推断一般条件下当AB∥CD∥EF时，＋＝是否成立．由特殊条件下成立，猜想一般条件下仍成立，我们把要证明的结论变形为＋＝1． 　　由条件AB∥EF，CD∥EF，易得出、的值．若能导出＋＝1，结论得证． 　　(2)观察图形可知△ABD、△BED、△BDC是同底(BD边)的三个三角形，只要推出三个三角形在BD边上的关系即可．