Question

【题目】如图，点O是△ABC的内心，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：①∠BOC＝90°+∠A；②EF不可能是△ABC的中位线；③设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn；④以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切．其中正确结论的个数是（　　）

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个

Answer 1

【答案】D

【解析】

由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得①∠BOC＝90°+∠A正确；假设EF是△ABC的中位线，由三角形中两边之和大于第三边可得假设不成立，故②正确；过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得当OD＝m，AE+AF＝n时，则S△AEF＝mn，故③正确；又由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，可判定△BEO与△CFO是等腰三角形，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系，即可求得④正确．

解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，

∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，

∴∠OBC+∠OCB＝90°﹣∠A，

∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°+∠A；故①正确；

假设EF是△ABC的中位线，则EA＝EB，FA＝FC，

∴EO＝EA，FO＝FA，

∴EA+FA＝EO+FO＝EF，

推出在△AEF中两边之和等于第三边，不成立，

∴EF不可能是△ABC的中位线，故②结论正确；

过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，

∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，

∴ON＝OD＝OM＝m，

∴S△AEF＝S△AOE+S△AOF＝AEOM+AFOD＝OD（AE+AF）＝mn，故③正确；

∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，

∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCB，

∵EF∥BC，

∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，

∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，

∴EB＝EO，FO＝FC，

∴EF＝EO+FO＝BE+CF，

∴以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切，故④正确．

∴其中正确的结论是①②③④．

故选：D．