Question

【题目】如图，四边形是正方形，是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接、、.设点的坐标为.

（1）若建立平面直角坐标系，满足原点在线段上，点，.且（），则点的坐标为 ，点的坐标为 ；请直接写出点纵坐标的取值范围是 ；

（2）若正方形的边长为2，求的长，以及的最小值. (提示：连结:，)

Answer 1

【答案】（1），，；（2），.

【解析】

（1）如图1，以直线BD为x轴，直线AC为y轴，建立平面直角坐标系，根据正方形的性质得到OA=OB=OC=OD，由点B（-1，0），A（0，1），于是得到D（1，0），C（0，-1）；过N作NH⊥BD于h，根据旋转的性质得到∠NBH=60°，BM=BN，求得NH=BN=t，于是得到结论；
（2）如图所示，连接MN，过E作EH⊥BC，交CB的延长线于H，由旋转的性质得到BM=BN，∠NBM=60°，求得△BMN是等边三角形，求得MN=BM，根据等边三角形的性质得到BE=BA，∠ABE=60°，求得∠ABM=∠EBN，根据全等三角形的性质得到AM=EN，求得AM+BM+CM=EN+MN+CM，当E，N，M，C在同一直线上时，AM+BM+CN的最小值是CE的长，解直角三角形即可得到结论．

解：（1）如图1，以直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，

∵四边形是正方形

∴

∵点，

∴，

过作于

∴

∵将绕点逆时针旋转得到，

∴

∴

∵

∴点纵坐标的取值范围是

故答案为：，，

（2）如图所示，连接，过作，交的延长线于，

由旋转可得，，，

∴是等边三角形，

∴

∵是等边三角形

∴

∴

∴≌（）

∴

∴

∴当，，，在同一直线上时，的最小值是的长，

又∵，

∴

∴中，

∴

∴

∴中，

∴的最小值为