题目内容

如图．已知A、B两点的坐标分别为A（0， $数学公式$ ），B（2，0）．直线AB与反比例函数 $数学公式$ 的图象交于点C和点D（-1，a）．
（1）求直线AB和反比例函数的解析式．
（2）求∠ACO的度数．
（3）将△OBC绕点O逆时针方向旋转α角（α为锐角），得到△OB′C′，当α为多少时，OC′⊥AB，并求此时线段AB’的长．

解：（1）设直线AB的解析式为：y=kx+b，
把A（0， $\text{[math]}$ ），B（2，0）分别代入，得 $\text{[math]}$ ，解得k=- $\text{[math]}$ ，b=2 $\text{[math]}$
∴直线AB的解析式为：y=- $\text{[math]}$ x+2 $\text{[math]}$ ；
∵点D（-1，a）在直线AB上，
∴a= $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$ =3 $\text{[math]}$ ，即D点坐标为（-1，3 $\text{[math]}$ ），
又∵D点（-1，3 $\text{[math]}$ ）在反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象上，
∴m=-1×3 $\text{[math]}$ =-3 $\text{[math]}$ ，
∴反比例函数的解析式为：y=- $\text{[math]}$ ；

（2）过C点作CE⊥x轴于E，如图，
根据题意得 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，
∴C点坐标为（3，- $\text{[math]}$ ），
∴OE=3，CE= $\text{[math]}$ ，
∴OC= $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，
而OA=2 $\text{[math]}$ ，
∴OA=OC，
又∵OB=2，
∴AB= $\text{[math]}$ =4，
∴∠OAB=30°，
∴∠ACO=30°；

（3）∵∠ACO=30°，
而要OC′⊥AB，
∴∠COC′=90°-30°=60°，
即△OBC绕点O逆时针方向旋转α角（α为锐角），得到△OB′C′，当α为60°时，OC′⊥AB；如图，
∴∠BOB′=60°，
∴点B'在AB上，
而∠OBA=60°，
∴BB′=2，
∴AB′=4-2=2．
分析：（1）设直线AB的解析式为：y=kx+b，把A（0， $\text{[math]}$ ），B（2，0）分别代入，得到a，b方程组，解出a，b，得到直线AB的解析式；把D点坐标代入直线AB的解析式，确定D点坐标，再代入反比例函数解析式确定m的值；
（2）由y=- $\text{[math]}$ x+2 $\text{[math]}$ 和y=- $\text{[math]}$ 联立解方程组求出C点坐标（3，- $\text{[math]}$ ），利用勾股定理计算出OC的长，得到OA=OC；在Rt△OAB中，利用勾股定理计算AB，得到∠OAB=30°，从而得到∠ACO的度数；
（3）由∠ACO=30°，要OC′⊥AB，则∠COC′=90°-30°=60°，即α=60°，得到∠BOB′=60°，而∠OBA=60°，得到△OBB′为等边三角形，于是有B′在AB上，BB′=2，即可求出AB′．
点评：本题考查了利用待定系数法求图象的解析式．也考查了点在函数图象上，点的横纵坐标满足函数图象的解析式和旋转的性质以及含30度的直角三角形三边的关系．