Question

已知：如图，AB是⊙O的弦，∠OAB=45°，C是优弧AB上的一点，BD∥OA，交CA延长线于点D，连接BC．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若AC=4

3

，∠CAB=75°，求⊙O的半径．

Answer 1

分析：（1）连接OB，如图．根据题意得，∠1=∠OAB=45°．由AO∥DB，得∠2=∠OAB=45°．则∠1+∠2=90°．即BD⊥OB于B．从而得出CD是⊙O的切线．
（2）作OE⊥AC于点E．由OE⊥AC，AC=4

3

，求得AE，由∠BAC=75°，∠OAB=45°，得出∠3．在Rt△OAE中，求得OA即可．

解答：（1）证明：连接OB，如图．
∵OA=OB，∠OAB=45°，
∴∠1=∠OAB=45°．
∵AO∥DB，
∴∠2=∠OAB=45°．
∴∠1+∠2=90°．
∴BD⊥OB于B．
∴又点B在⊙O上．
∴BD是⊙O的切线．

（2）解：作OE⊥AC于点E．
∵OE⊥AC，AC=4

3

，
∴AE=

1

2

AC=2

3

．
∵∠BAC=75°，∠OAB=45°，
∴∠3=∠BAC-∠OAB=30°．
∴在Rt△OAE中，OA=

AE

cos30°

=

2 3

3 2

=4
解法二：如图
延长AO与⊙O交于点F，连接FC．
∴∠ACF=90°．
在Rt△ACF中，AF=

AC

cos30°

=

4 3

3 2

=8．
∴AO=

1

2

AF=4．

点评：本以考查了切线的判定和性质，以及解直角三角形，是基础知识要熟练掌握．