Question

如图，PQ为圆O的直径，点B在线段PQ的延长线上，OQ=QB=1，动点A在圆O的上半圆运动（含P、Q两点），以线段AB为边向上作等边三角形ABC．

（1）当线段AB所在的直线与圆O相切时，求△ABC的面积（图1）；

（2）设∠AOB=α，当线段AB、与圆O只有一个公共点（即A点）时，求α的范围（图2，直接写出答案）；

（3）当线段AB与圆O有两个公共点A、M时，如果AO⊥PM于点N，求CM的长度（图3）．

Answer 1

解：（1）连接OA，过点B作BH⊥AC，垂足为H，如图1所示．

∵AB与⊙O相切于点A，

∴OA⊥AB．

∴∠OAB=90°．

∵OQ=QB=1，

∴OA=1．

∴AB=

=

=．

∵△ABC是等边三角形，

∴AC=AB=，∠CAB=60°．

∵sin∠HAB=，

∴HB=AB•sin∠HAB

=×

=．

∴S_△ABC=AC•BH

=××

=．

∴△ABC的面积为．

（2）①当点A与点Q重合时，

线段AB与圆O只有一个公共点，此时α=0°；

②当线段A₁B所在的直线与圆O相切时，如图2所示，

线段A₁B与圆O只有一个公共点，

此时OA₁⊥BA₁，OA₁=1，OB=2，

∴cos∠A₁OB==．

∴∠A₁OB=60°．

∴当线段AB与圆O只有一个公共点（即A点）时，

α的范围为：0°≤α≤60°．

（3）连接MQ，如图3所示．

∵PQ是⊙O的直径，

∴∠PMQ=90°．

∵OA⊥PM，

∴∠PDO=90°．

∴∠PDO=∠PMQ．

∴△PDO∽△PMQ．

∴==

∵PO=OQ=PQ．

∴PD=PM，OD=MQ．

同理：MQ=AO，BM=AB．

∵AO=1，

∴MQ=．

∴OD=．

∵∠PDO=90°，PO=1，OD=，

∴PD=．

∴PM=．

∴DM=．

∵∠ADM=90°，AD=A0﹣OD=，

∴AM=

=

=．

∵△ABC是等边三角形，

∴AC=AB=BC，∠CAB=60°．

∵BM=AB，

∴AM=BM．

∴CM⊥AB．

∵AM=，

∴BM=，AB=．

∴AC=．

∴CM=

=

=．

∴CM的长度为．