Question

如图1，抛物线y=ax²-3ax+b经过A（-1，0）、C（3，-2）两点，与y轴交于点D，与x轴交于另一点B．
（1）求此抛物线的解析式，并求出点B的坐标及抛物线的对称轴；
（2）点P为抛物线对称轴上一点，连接PA、PD，当△PAD的周长最小时，求点P的坐标；
（3）如图2，过点E（1，1）作EF⊥x轴于点F，将△AEF绕平面内某点旋转180°得△MNQ（点M、N、Q分别与点A、E、F对），使点M、N在抛物线上，求点M、N的坐标．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=ax²-3ax+b经过A（-1，0）、C（3，-2）两点，
∴，
解得，
∴抛物线解析式为y=x²-x-2，
令y=0，则x²-x-2=0，
整理得，x²-3x-4=0，
解得x₁=-1，x₂=4，
∴点B的坐标为（4，0），
对称轴为直线x=-=-=，即x=；

（2）如图，连接BD，
∵A、B关于直线x=对称，
∴BD与对称轴的交点即为△PAD的周长最小时的点P，
令x=0，则y=-2，
∴点D的坐标为（0，-2），
设直线BD的解析式为y=kx+m，将B（4，0），D（0，-2）代入得：
则，
解得，
所以，直线BD的解析式为y=x-2，
当x=时，y=×-2=-，
所以，点P的坐标为（，-）；

（3）设对称中心坐标为（a，b），则点A（-1，0）的对称点M（2a+1，2b），
点E（1，1）的对称点N（2a-1，2b-1），
∵点M、N都在抛物线上，
∴，
①-②得，4a=4，
解得a=1，
把a=1代入①得，×9-×3-2=2b，
解得b=-1，
∴方程组的解是，
∴点M（3，-2），N（1，-3）．
分析：（1）把点A、C的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答，再令y=0，解关于x的一元二次方程求出点B的坐标，把二次函数对称轴公式进行计算即可得解；
（2）根据轴对称确定最短路线问题，连接BD，与对称轴的交点即为所求的点P，利用抛物线解析式求出点D的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式求出直线BD的解析式，然后解答即可；
（3）设对称中心的坐标为（a，b），根据中心对称的性质用a、b表示出点M、N的坐标，再根据点M、N在抛物线上，代入抛物线解析式得到关于a、b的方程组，求解得到a、b的值，从而得解．
点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求函数解析式（包括二次函数解析式，一次函数解析式），抛物线与x轴的交点坐标的求解，求对称轴解析式，利用轴对称确定最短路线问题，（3）利用对称中心表示出点M、N的坐标是解题的关键，也是本题的难点．