Question

【题目】如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且，.

（1）求抛物线的表达式；

（2）点是抛物线上一点．

①在抛物线的对称轴上，求作一点，使得的周长最小，并写出点的坐标；

②连接并延长，过抛物线上一点（点不与点重合）作轴，垂足为，与射线交于点，是否存在这样的点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①连接交抛物线对称轴于点，则点即为所求，点的坐标为；②存在；点的坐标为或．

【解析】

（1）由，得到A（-2,0），C（3,0），即可写出抛物线的交点式.

（2）①因为关于对称轴对称，所以，由两点之间线段最短，知连接交抛物线对称轴于点，则点即为所求，先用待定系数法求出解析式，将对称轴代入得到点坐标.

②设点，根据抛物线的解析式、直线的解析式，写出Q、M的坐标，分当在上方、下方两种情况，列关于m的方程，解出并取大于-2的解，即可写出的坐标.

（1）∵，，

结合图象，得A（-2,0），C（3,0），

∴抛物线可表示为：，

∴抛物线的表达式为；

（2）①∵关于对称轴对称，

∴,

∴连接交抛物线对称轴于点，则点即为所求.

将点，的坐标代入一次函数表达式，

得直线的函数表达式为.

抛物线的对称轴为直线，

当时，,

故点的坐标为；

②存在；设点，则，.

当在上方时，

，，，解得（舍）或；

当在下方时，

，，，解得（舍）或，

综上所述，的值为或5，

点的坐标为或.