Question

如图，在△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD＝45°，AD与BE交于点F，连接CF.

（1）求证：BF＝2AE；

（2）若CD＝，求AD的长.

Answer 1

分析：（1）由等腰三角形的“三线合一”的性质知AE＝AC.要证BF＝2AE，只需证BF＝AC,只需证△ADC≌△BDF.（2）因为AD＝AF+DF，所以可利用DF＝CD求DF.由AF＝FC在等腰直角三角形CDF中先求CF.

（1）证明：∵ AD⊥BC，∠BAD＝45°，

∴ ∠ABD=∠BAD=45°.∴ AD=BD.

∵ AD⊥BC,BE⊥AC,

∴ ∠CAD+∠ACD=90°，∠CBE+∠ACD＝90°.

∴ ∠CAD=∠CBE.

又∵ ∠CDA=∠FDB=90°，

∴ △ADC≌△BDF.∴ AC=BF.

∵ AB=BC,BE⊥AC,

∴ AE=EC，即AC＝2AE.∴ BF＝2AE.

（2）解：∵ △ADC≌△BDF，∴ DF=CD=.

∴ 在Rt△CDF中，CF＝＝2.

∵ BE⊥AC,AE=EC,∴ AF=FC=2.

∴ AD=AF+DF=2+.

点拨：证明线段相等的常用方法有以下几种：（1）等腰三角形中的等角对等边；（2）全等三角形的对应边相等；（3）线段的垂直平分线的性质；（4）角的平分线的性质；        （5）勾股定理；（6）借助第三条线段进行等量代换.