题目内容
已知：如图1，抛物线C1：
（m＞0）的顶点为A，与y轴相交于点B，抛物线C2：
的顶点为C，并与y轴相交于点D，其中点A、B、C、D中的任意三点都不在同一条直线
（1）判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
（2）如图2，若抛物线 （m＞0）的顶点A落在x轴上时，四边形ABCD恰好是正方形，请你确定m，n的值；
（3）是否存在m，n的值，使四边形ABCD是邻边之比为1：
的矩形？若存在，请求出m，n的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）四边形ABCD是平行四边形，
∵A（m，n ），C（-m，-n ），
∴点A与点C关于原点对称．
∴点O、A、C三点在同一条直线上，
∴OA=OC．
∵
，
∴OB=OD．
∴四边形ABCD是平行四边形．
（2）∵抛物线
的顶点A落在x轴上，
∴n=0．
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB，即
，
解得：m1=0（不符题意，舍去），m2=3．
此时四边形ABCD是正方形
∴m=3，n=0．
（3）若四边形ABCD是矩形，
则OA=OB，即
，
化简得：
∵m＞0，
∴m2+6n=9
又∵矩形的邻边之比为
，
当AB：AD=时，∠ABO=60°，
过点A作AH⊥BD于H，则BH=
，
∴
，
∴
，
解得：
当AD：AB=时，∠ABO=30°，
过点A作AH⊥BD于H，则BH=
，
∴
，
解得：
．
答：存在
，n=1或
，n=-3使四边形ABCD是邻边之比为的矩形．
分析：（1）根据题目条件可以表示出A（m，n ），C（-m，-n ），可以求得AO=CO，当x=时可以求出点B、D的坐标，从而可以证明BO=DO，CO从而得出结论．
（2）∵抛物线 （m＞0）的顶点A落在x轴上，可以得出n=0，由四边形ABCD恰好是正方形，由正方形的性质就可以得出OA=OB而建立等量关系求出其m的值．
（3）∵四边形ABCD是矩形，由矩形的性质可以得出OA=OB从而建立一个等量关系，由矩形ABCD的邻边之比为1：，可以得出，∠ABO=60°或∠ABO=30°，作AH⊥BD，表示出BH，用OB=BH+OH在建立一个等式，从而构成方程组，从两种情况求出方程组的解就可以了．
点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了平行四边形的判定，正方形的性质的运用，矩形的性质的运用及三角函数值的运用．
∵A（m，n ），C（-m，-n ），
∴点A与点C关于原点对称．
∴点O、A、C三点在同一条直线上，
∴OA=OC．
∵
，∴OB=OD．
∴四边形ABCD是平行四边形．
（2）∵抛物线
的顶点A落在x轴上，∴n=0．
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB，即
，解得：m1=0（不符题意，舍去），m2=3．
此时四边形ABCD是正方形
∴m=3，n=0．
（3）若四边形ABCD是矩形，
则OA=OB，即
，化简得：
∵m＞0，
∴m2+6n=9
又∵矩形的邻边之比为
，当AB：AD=
时，∠ABO=60°，过点A作AH⊥BD于H，则BH=
，∴
，∴
，解得：
当AD：AB=
时，∠ABO=30°，过点A作AH⊥BD于H，则BH=
，∴
，解得：
．答：存在
，n=1或，n=-3使四边形ABCD是邻边之比为的矩形．分析：（1）根据题目条件可以表示出A（m，n ），C（-m，-n ），可以求得AO=CO，当x=时可以求出点B、D的坐标，从而可以证明BO=DO，CO从而得出结论．
（2）∵抛物线
（m＞0）的顶点A落在x轴上，可以得出n=0，由四边形ABCD恰好是正方形，由正方形的性质就可以得出OA=OB而建立等量关系求出其m的值．（3）∵四边形ABCD是矩形，由矩形的性质可以得出OA=OB从而建立一个等量关系，由矩形ABCD的邻边之比为1：
，可以得出，∠ABO=60°或∠ABO=30°，作AH⊥BD，表示出BH，用OB=BH+OH在建立一个等式，从而构成方程组，从两种情况求出方程组的解就可以了．点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了平行四边形的判定，正方形的性质的运用，矩形的性质的运用及三角函数值的运用．
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