Question

【题目】如图（1），直线⊥轴于点P，Rt△ABC中，斜边AB=5，直角边AC=3，点A（0， ）在轴上运动，直角边BC在直线上，将△ABC绕点P顺时针旋转90°，得到△DEF。以直线为对称轴的抛物线经过点F。

（1）求点F的坐标（用含的式子表示）

（2）①如图（2）当抛物线的顶点为点C时，抛物线恰好过坐标原点。求此时抛物线的解析式；

②如图（3）不改变①中抛物线的开口方向和形状，让点A的位置发生变化，使抛物线与线段AB始终有交点M（， ）.

(ⅰ)求的取值范围；

（ⅱ）变化过程中，当变成某一个值时，点A的位置唯一确定，求此时点M的坐标。

图（1） 图（2） 图（3）

Answer 1

【答案】（1）点F的坐标为（，0）；（2）①；②（ⅰ） ；（ii）点M的坐标为（， ）

【解析】（1）由旋转可知，PF=PC=|t |，当t时，OF=OP+PF=t+3，易知F（t+3，0）；

当时，OF=OP－PF= ，点F坐标为（，0）； 当时，OF= PF－OP=，点F坐标仍为点F坐标为（，0）

∴点F的坐标为（，0）

（2）①由抛物线的对称性可知，PF=PO=3，又由旋转PC=PF，故此时点C坐标为（3，3），设抛物线的解析式为，将原点坐标代入可得：

∴此时抛物线的解析式为

②由于抛物线形状和对称轴不发生改变，故可设抛物线解析式为，由于抛物线过点F（，0），代入可得： ，即此时抛物线为

（ⅰ）易求点B坐标为（3， ），由于，∴点B恒在抛物线顶点下方，只有点A在抛物线上或上方，抛物线与线段AB才有交点。

当从0开始增大时，PF增大，抛物线与轴左边交点向左移动，抛物线与轴交点随之上移，点M逐渐向点A靠拢，当抛物线过点A时， 取得最大值；而当从0开始减小时点F在O、P之间，由于抛物线随着的减小向上移动，而点A向下移动，故点M会向点A靠拢，故当抛物线经过点A时， 取得最小值。将点A坐标代入抛物线，得：

∴。

（ⅱ）易求AB解析式为，将点M坐标代入直线与抛物线解析式可得：

消去，并化简得： ，

由于当变成某一个值时，点A的位置唯一确定，所以上述关于的方程有两个相等的实数根，从而有：

，

解得： （舍去）

代入AB解析式，可得：

所以，此时点M的坐标为（， ）

“点睛”此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：二次函数的性质，待定系数法确定抛物线解析式、二次函数的最值、一元二次方程的判别式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键，解题时要注意用分类讨论思想．