Question

如图，已知直线l：y=

3

2

x及抛物线C：y=ax²+bx+c（a≠0），且抛物线C图象上部分点的对应值如下表：

x	…	-2	-1	0	1	2	3	4	…
y	…	-5	0	3	4	3	0	-5	…

（1）求抛物线C对应的函数解析式；
（2）求直线l与抛物线C的交点A、B的坐标；
（3）若动点M在直线l上方的抛物线C上移动，求△ABM的边AB上的高h的最大值．

Answer 1

分析：（1）可任选三点坐标代入抛物线的解析式中进行求解即可．（可选其中与x轴的交点，用交点式二次函数通式设抛物线的解析式求解．）
（2）联立直线l和抛物线的解析式即可求出A、B的坐标．
（3）本题可通过三角形ABM的面积来求解．由于三角形AMB的面积无法直接求出，因此可将其分割成其他图形面积的和差来求解．过M作MN∥y轴交AB于N，那么三角形ABM的面积就分成了三角形AMN和BMN两部分，可以MN为底，以AB两点的横坐标的差的绝对值为高来求三角形ABM的面积，MN是抛物线的函数中与直线AB函数值的差，由此可得出关于三角形AMB的面积与M点横坐标的函数关系式．然后根据三角形ABM的面积的不同表示方法求出关于h和M点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出h的最大值．

解答：解：（1）∵抛物线C：y=ax²+bx+c（a≠0）过（-1，0），（0，3），（3，0）；
∴可设二次函数的解析式为y=a（x+1）（x-3），
则有：3=a（0+1）（0-3），a=-1；
∴抛物线C对应的函数关系式为：y=-（x+1）（x-3）=-x²+2x+3．

（2）由

y= 3 2 x y=-x2+2x+3

，
得：

x=- 3 2 y=- 9 4

，

x=2 y=3

；
∴A（-

3

2

，-

9

4

）和B（2，3）．

（3）设点M（x，-x²+2x+3），其中-

3

2

＜x＜3，过点M作y轴的平行线交直线AB于点N，则N（x，

3

2

x）．
且|MN|=-x²+2x+3-

3

2

x=-x²+

1

2

x+3
∴S_△ABM=S_△AMN+S_△BMN=

1

2

|MN|（x+

3

2

）+

1

2

|MN|（2-x）
=

1

2

|MN|（

3

2

+x+2-x）
=-

7

4

x²+

7

8

x+

21

4

由勾股定理得：
|AB|=

(2+ 3 2 )2+(3+ 9 4 )2

=

( 7 2 )2+( 21 4 )2

=

7

4

13

．
又∵S_△ABM=

1

2

|AB|•h，
∴

1

2

×

7 13

4

•h=-

7

4

x²+

7

8

x+

21

4

∴h=

2 13

13

（-x²+

1

2

x+3），
故h=-

2 13

13

（x-

1

4

）²+

49 13

104

∴当x=

1

4

（-

3

2

＜

1

4

＜3）时，h的最大值为

49 13

104

．

点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点、图形面积的求法等知识点．综合性强，难度较高．