题目内容
27、某电子科技公司开发一种新产品．产品投产上市一年来，公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程（公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次）．公司前12个月累积获得的利润y（万元）与销售时间第x（月）之间的函数关系（即前x个月的利润总和y与x之间的关系）对应的点都在如图所示的图象上．该图象是某二次函数y=a（x-h）2+k图象的一部分，点A为抛物线的顶点，且点A，B，C的横坐标分别为4，10，12，点A，B的纵坐标分别为-16，20．（1）求前12个月该公司累积获得的利润y（万元）与时间第x（月）之间的函数关系式；
（2）分别求出前9个月公司累积获得的利润和10月份一个月内所获得的利润；
（3）在前12个月中，哪个月该公司一个月内所获得的利润最多？最多利润是多少万元？
分析：（1）根据题意此抛物线的顶点坐标为（4，-16），设出抛物线的顶点式，把（10，20）代入即可求出a的值，把a的值代入抛物线的顶点式中即可确定出抛物线的解析式；
（2）令（1）求出的抛物线的解析式中的x=9，即可求出前9个月公司累积获得的利润，然后令x=10求出前10个月公司累积获得的利润，两者相减即可求出10月份一个月内所获得的利润；
（3）根据前n个月内所获得的利润减去前n-1个月内所获得的利润，再减去16即可表示出第n个月内所获得的利润，为关于n的一次函数，且为增函数，得到n取最大为12时，把n=12代入即可求出最多的利润．
（2）令（1）求出的抛物线的解析式中的x=9，即可求出前9个月公司累积获得的利润，然后令x=10求出前10个月公司累积获得的利润，两者相减即可求出10月份一个月内所获得的利润；
（3）根据前n个月内所获得的利润减去前n-1个月内所获得的利润，再减去16即可表示出第n个月内所获得的利润，为关于n的一次函数，且为增函数，得到n取最大为12时，把n=12代入即可求出最多的利润．
解答：解：（1）根据题意可设：y=a（x-4）2-16，
当x=10时，y=20，所以a（10-4）2-16=20，
解得a=1，
所求函数关系式为：y=（x-4）2-16；
（2）当x=9时，y=（9-4）2-16=9，
所以前9个月公司累积获得的利润为9万元，
又由题意可知，当x=10时，y=20，而20-9=11，
所以10月份一个月内所获得的利润11万元；
（3）设在前12个月中，第n个月该公司一个月内所获得的利润为s（万元），
则有：s=（n-4）2-16-[（n-1-4）2-16]=2n-9，
因为s是关于n的一次函数，且2＞0，s随着n的增大而增大，
而n的最大值为12，所以当n=12时，s=15，
所以第12月份该公司一个月内所获得的利润最多，最多利润是15万元．
当x=10时，y=20，所以a（10-4）2-16=20，
解得a=1，
所求函数关系式为：y=（x-4）2-16；
（2）当x=9时，y=（9-4）2-16=9，
所以前9个月公司累积获得的利润为9万元，
又由题意可知，当x=10时，y=20，而20-9=11，
所以10月份一个月内所获得的利润11万元；
（3）设在前12个月中，第n个月该公司一个月内所获得的利润为s（万元），
则有：s=（n-4）2-16-[（n-1-4）2-16]=2n-9，
因为s是关于n的一次函数，且2＞0，s随着n的增大而增大，
而n的最大值为12，所以当n=12时，s=15，
所以第12月份该公司一个月内所获得的利润最多，最多利润是15万元．
点评：此题考查学生会利用待定系数法求函数的解析式，灵活运用二次函数的图象与性质解决实际问题，是一道综合题．
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