Question

如图，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与反比例函数y=

k

x

在第一象限的图象交于点B．如果将直线AB绕点A顺时针旋转15°得到直线l，直线l与y轴交于点C．若点B的横坐标为1，求反比例函数y=

k

x

和直线l的解析式．

Answer 1

分析：首先由点B的横坐标为1且B点在直线y=x+3上可以求出B的坐标，然后利用待定系数法可以确定反比例函数的解析式，过B点作BD⊥x轴于D．由直线y=x+3交x轴于点A可以求出A的坐标为（-3，0），然后得到OA=3，接着得到AD=BD=4，所以∠BAC=45°，而直线l是y=x+3绕点A顺时针旋转15°得到的，则∠CAO=30°．所以在Rt△ACO中利用三角函数可以求出CO，接着得到C的坐标，最后利用待定系数法即可解决问题．

解答：解：因为点B的横坐标为1，且B点在直线y=x+3上，
则B（1，4）
又因B（1，4）在反比例函数y=

k

x

(k≠0，x＞0)上，
故4=

k

1

．所以k=4．
所以反比例函数的解析式为y=

4

x

．
过B点作BD⊥x轴于D．
因直线y=x+3交x轴于点A，则A（-3，0），OA=3．
所以AD=BD=4，
所以∠BAD=45°．
因直线l是y=x+3绕点A顺时针旋转15°得到的，
则∠CAO=30°．
所以在Rt△ACO中CO=AO•tan30°=3×

3

3

=

3

．
故C(0，

3

)．
设直线l为y=k₁x+b（k≠0）．
因

-3k1+b=0 b= 3 .

∴

k1= 3 3 b= 3 .

所以直线l的解析式为y=

3

3

x+

3

．

点评：此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时首先利用待定系数法确定函数的解析式，然后利用旋转的旋转和三角函数的定义即解决问题．