Question

【题目】如图，长方形ABCD在平面直角坐标系中，点A(1，8)，B(1，6)，C(7，6)．

(1)请直接写出D点的坐标．

(2)连接OB，OD，BD，请求出三角形OBD的面积．

(3)若长方形ABCD以每秒1个单位长度的速度向下运动，当边BC与x轴重合时，停止运动，设运动的时间为t秒，t为多少时，三角形OBD的面积等于长方形ABCD的面积的？

Answer 1

【答案】(1)D(7，8)；(2)S△OBD=17；(3)t＝3．

【解析】

（1）根据长方形的性质得出AB=DC，AD=BC，求出AD∥x轴，AB∥DC∥y轴，即可得出D的坐标．

（2）延长DA交y轴于M，则AM⊥y轴，求出OM=8，DM=7，AM=1，AD=6，AB=2，求出S△OBD＝S△ODM﹣S△ABD﹣S梯形AMOB，代入求出即可．

（3）延长DA交y轴于M，则AM⊥y轴，先算出S长方形ABCD和S△OBD，即可求出t值，进而得出答案.

解：（1）∵四边形ABCD是长方形，

∴AB=DC，AD=BC，

∵点A（1，8），B（1，6），C（7，6）．

∴AD∥x轴，AB∥DC∥y轴，

∴D的坐标是（7，8），

故答案为：（7，8）．

（2）延长DA交y轴于M，则AM⊥y轴．

∵A(1，8)，B(1，6)，C(7，6)，D(7，8)

∴OM=8，DM=7，AM=1，AD=6，AB=2，

S△OBD＝S△ODM﹣S△ABD﹣S梯形AMOB

＝×OM×DM﹣×AB×AD﹣×(AB+OM)×AM

=×8×7﹣×2×6﹣×(2+8)×1

=17．

（3）延长DA交y轴于M，则AM⊥y轴．

∵S长方形ABCD＝2×6＝12，

S△OBD＝S△ODM－S△ABD－S梯形AMOB＝12×=8，

∴×(8－t)×7－×12－(2＋8－t)×1＝8，

解得：t＝3．

即t为3时，三角形OBD的面积等于长方形ABCD的面积的．