Question

（2012•江干区一模）如图，半圆的直径AB=2，点C从点A向点B沿着半圆运动，速度为每秒

π

6

，运动时间为t（秒），D是弧BC的中点，连接AD，BC相交于点E，连接BD．
（1）如果OC∥BD，求t的值及

BD

AE

的值；
（2）当t=3时，求

BD

AE

的值．

Answer 1

分析：（1）求出∠DBC=∠C=∠CBA=30°，求出弧AC长，即可求出t，求出DB、AD、DE，AE，代入即可求出答案；
（2）过E作EF⊥AB于F，求出AC、BC，求出BF、EF，求出AE，证△ACE∽△BDE，得出

DB

AC

=

BE

AE

，推出DB=

AC•BE

AE

，代入求出即可．

解答：解：（1）∵OC∥DB，OB=OC，
∴∠DBC=∠C=∠CBA，
∴弧DC=弧AC，
又∵点D平分弧BC，
∴弧DC=弧AC=弧BD，
∴∠DBC=∠C=∠CBA=30°，
∴弧AC=

1

3

π，
∴t=

1

3

π÷

π

6

=2．
∵在Rt△ABD中，∠D=90°，AB=2，
∴DB=1，AD=

3

．
∵在Rt△BDE中，∠D=90°，BD=1，∠DBE=30°，
∴tan30°=

DE

BD

，
∴DE=

1

3

3

，
∴AE=

2

3

3

，
∴

DB

AE

=

3

2

；

（2）解：过点E作EF⊥AB于点F，
∵当t=3时，弧AC=

1

2

π，∠ABC=45°，
∵EF⊥AB，
∴∠EFB=90°，
∴∠BEF=45°=∠CBA=∠CAB，
∵∠C=90°，
∴AC=BC=

2

，BF=EF=CE=2-

2

，EB=

2

BF=2

2

-2，
∴AE²=(

2

)2+(2-

2

)2=8-4

2

，
∵AB为直径，
∴∠C=∠D=90°，
∵∠AEC=∠BED，
∴△ACE∽△BDE，
∴

DB

AC

=

BE

AE

，
∴DB=

AC•BE

AE

，
∴

DB

AE

=

AC•BE

AE2

=

2 •(2 2 -2)

8-4 2

=

1

2

．

点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，平行线性质，含30度角的直角三角形，勾股定理的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目综合性比较强，有一定的难度．