题目内容
【题目】如图，抛物线与x轴相交于点A（-3，0）、点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），点D是第二象限内抛物线上一动点．F点坐标为（-4，0）．
（1）求这条抛物线的解析式；并写出顶点坐标；
（2）当D为抛物线的顶点时，求△ACD的面积；
（3）连接OD交线段AC于点E．当△AOE与△ABC相似时，求点D的坐标；
（4）在x轴上方作正方形AFMN，将正方形AFMN沿x轴下方向向右平移t个单位，其中0≤t≤4，设正方形AFMN与△ABC的重叠总分面积为S，直接写出S关于t的函数解析式．
【答案】（1）
，顶点坐标是（
，4）；（2）3；（3）点D的坐标是（
，
）或（-
，2）；（4）
【解析】
（1）利用待定系数法确定函数解析式，根据函数解析式求得该抛物线的顶点坐标；
（2）过点D作DM∥y轴，交AC于M，连AD，DC，将△ACD拆分成△ADM和△CDM，易求得直线AC的解析式为y=x＋3，即M的坐标为（-1，2）再根据已知坐标可求三角形面积；
（3）连接OD交线段AC于点E，连接BC，分∠AOD=∠ABC时和∠AOD=∠ACB时两种情况讨论，分别利用互相平行两直线解析式斜率相等和相似比求得直线OE解析式，再联立OE与抛物线解析式求交点D的坐标即可；
（4）分
，
，
，
四种情况讨论，作出相应图形进行面积计算求解即可．
解：（1）∵抛物线与x轴交点坐标为A（-3，0）、点B（1，0），
∴设抛物线解析式为y=a（x＋3）（x-1），
将点C（0，3）代入得：a=-1，
故抛物线解析式为：，
∵
，
∴该抛物线的顶点坐标是（，4）；
（2）过点D作DM∥y轴，交AC于M，连AD，DC，
∵A（-3，0）、点B（1，0）
∴AC的解析式为y=x＋3，
∴M的坐标为（-1，2），则DM=2．
∴S△ACD=S△ADM＋S△CDM=
×2×2＋×2×1=3；
（3）连接OD交线段AC于点E，连接BC，
∵∠BAC是公共角，
∴当△AOE与△ABC相似时，有2种情况：
①当∠AOD=∠ABC时，OD∥BF，
∵BC的解析式为y=-3x＋3，
则OE的解析式为y=-3x.
解方程组
得：x1=，x2=
，
∵点D在第二象限，
∴取
，
∴D1（，）．
②当∠AOD=∠ACB时，过E作EH⊥x轴于点H，
则
，
即
，
解得AE=2
，
∵OA=OC，
∴∠CAO=45°，
∴AH=EH=2，OH=1，
∴E点坐标为（-1，2），
则直线OE的解析式为 y=-2x，
解方程组
得x1=-，x2=（舍去），
∴D2（-，2），
综合可得，点D的坐标是（，）或（-，2）；
（4）①当时，如下图所示，重叠部分面积为图中阴影
的面积，
∵∠CAB=45°，
∴
，
∴
，
②当时，如下图所示，重叠部分面积为图中阴影五边形
的面积，
∴
，
，
③当点N在BC上时，由BC的解析式为y=-3x＋3可求得点N坐标为（
，1），正方形
在△ABC的内部，
此时
，
所以当时，正方形AFMN与△ABC的重叠部分即为正方形面积，
即
,
④当时，如图所示，重叠部分面积为图中阴影五边形
面积，
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
综上．
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