Question

如图．在直角坐标系中，矩形ABC0的边OA在x轴上，边0C在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E．那么点D的坐标为

（-

4

5

，

12

5

）

．

Answer 1

分析：首先过D作DF⊥AF于F，根据折叠可以证明△CDE≌△AOE，然后利用全等三角形的性质得到OE=DE，OA=CD=1，设OE=x，那么CE=3-x，DE=x，利用勾股定理即可求出OE的长度，而利用已知条件可以证明△AEO∽△ADF，而AD=AB=3，接着利用相似三角形的性质即可求出DF、AF的长度，也就求出了D的坐标．

解答：解：如图，过D作DF⊥AO于F，
∵点B的坐标为（1，3），
∴BC=AO=1，AB=OC=3，
根据折叠可知：CD=BC=OA=1，∠CDE=∠B=∠AOE=90°，AD=AB=3，
在△CDE和△AOE中，

∠CDE=∠AOE ∠CED=∠AEO CD=AO

，
∴△CDE≌△AOE，
∴OE=DE，OA=CD=1，AE=CE，
设OE=x，那么CE=3-x，DE=x，
∴在Rt△DCE中，CE²=DE²+CD²，
∴（3-x）²=x²+1²，
∴x=

4

3

，
∴OE=

4

3

，AE=CE=OC-OE=3-

4

3

=

5

3

，
又∵DF⊥AF，
∴DF∥EO，
∴△AEO∽△ADF，
∴AE：AD=EO：DF=AO：AF，
即

5

3

：3=

4

3

：DF=1：AF，
∴DF=

12

5

，AF=

9

5

，
∴OF=

9

5

-1=

4

5

，
∴D的坐标为：（-

4

5

，

12

5

）．
故答案为：（-

4

5

，

12

5

）．

点评：此题主要考查了图形的折叠问题、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及坐标与图形的性质．解题的关键是把握折叠的隐含条件，利用隐含条件得到全等三角形和相似三角形，然后利用它们的性质即可解决问题．