Question

如图，E是BC边上一点，AB⊥CB于点B，CD⊥CB于点C，AB=CB，∠A=∠CBD，AE与BD相交于点O，下列结论：①AE=BD；②AE⊥BD；③EB=CD；④△ABO的面积等于四边形CDOE的面积，其中正确的结论有________（填序号）．

Answer 1

①②③④
分析：根据ASA证△ABE≌△BCD，推出①②正确；根据三角形内角和定理求出∠CBD+∠AEB=90°，求出∠BOE=90°，即可判断③；根据全等三角形性质求出△ABE、△BCD面积相等，都减去△BOE的面积，即可判断④．
解答：∵AB⊥CB，CD⊥CB，
∴∠ABE=∠BCD=90°，
在△ABE和△BCD中
，
∴△ABE≌△BCD，
∴AE=BD，EB=CD∴①正确；③正确；
∵∠ABE=90°，
∴∠A+∠AEB=90°，
∵∠A=∠CBD，
∴∠AEB+∠cbd=90°，
∴∠BOE=180°-90°=90°，
∴AE⊥BD，∴②正确；
∵△ABE≌△BCD，
∴△ABE的面积等于△BCD的面积，
∵△BOE的面积等于△BOE的面积，
∴△ABO的面积等于四边形CDOE的面积，∴④正确；
故答案为：①②③④．
点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，关键是求出△ABE和△BCD全等，主要培养学生运用定理进行推理的能力．