Question

（2012•镇江）边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），…，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为（　　）

• A．

  1

  3

  ×(

  1

  2

  )5a
• B．

  1

  2

  ×(

  1

  3

  )5a
• C．

  1

  3

  ×(

  1

  2

  )6a
• D．

  1

  2

  ×(

  1

  3

  )6a

Answer 1

分析：连接AD、DB、DF，求出∠AFD=∠ABD=90°，根据HL证两三角形全等得出∠FAD=60°，求出AD∥EF∥GI，过F作FZ⊥GI，过E作EN⊥GI于N，得出平行四边形FZNE得出EF=ZN=

1

3

a，求出GI的长，求出第一个正六边形的边长是

1

3

a，是等边三角形QKM的边长的

1

3

；同理第二个正六边形的边长是等边三角形GHI的边长的

1

3

；求出第五个等边三角形的边长，乘以

1

3

即可得出第六个正六边形的边长．

解答：解：连接AD、DF、DB．
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠ABC=∠BAF=∠AFE，AB=AF，∠E=∠C=120°，EF=DE=BC=CD，
∴∠EFD=∠EDF=∠CBD=∠BDC=30°，
∵∠AFE=∠ABC=120°，
∴∠AFD=∠ABD=90°，
在Rt△ABD和RtAFD中

AF=AB AD=AD

∴Rt△ABD≌Rt△AFD（HL），
∴∠BAD=∠FAD=

1

2

×120°=60°，
∴∠FAD+∠AFE=60°+120°=180°，
∴AD∥EF，
∵G、I分别为AF、DE中点，
∴GI∥EF∥AD，
∴∠FGI=∠FAD=60°，

∵六边形ABCDEF是正六边形，△QKM是等边三角形，
∴∠EDM=60°=∠M，
∴ED=EM，
同理AF=QF，
即AF=QF=EF=EM，
∵等边三角形QKM的边长是a，
∴第一个正六边形ABCDEF的边长是

1

3

a，即等边三角形QKM的边长的

1

3

，
过F作FZ⊥GI于Z，过E作EN⊥GI于N，
则FZ∥EN，
∵EF∥GI，
∴四边形FZNE是平行四边形，
∴EF=ZN=

1

3

a，
∵GF=

1

2

AF=

1

2

×

1

3

a=

1

6

a，∠FGI=60°（已证），
∴∠GFZ=30°，
∴GZ=

1

2

GF=

1

12

a，
同理IN=

1

12

a，
∴GI=

1

12

a+

1

3

a+

1

12

a=

1

2

a，即第二个等边三角形的边长是

1

2

a，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第三个正六边形的边长是

1

3

×

1

2

a；
同理第第三个等边三角形的边长是

1

2

×

1

2

a，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第三个正六边形的边长是

1

3

×

1

2

×

1

2

a；
同理第四个等边三角形的边长是

1

2

×

1

2

×

1

2

a，第四个正六边形的边长是

1

3

×

1

2

×

1

2

×

1

2

a；
第五个等边三角形的边长是

1

2

×

1

2

×

1

2

×

1

2

a，第五个正六边形的边长是

1

3

×

1

2

×

1

2

×

1

2

×

1

2

a；
第六个等边三角形的边长是

1

2

×

1

2

×

1

2

×

1

2

×

1

2

a，第六个正六边形的边长是

1

3

×

1

2

×

1

2

×

1

2

×

1

2

×

1

2

a，
即第六个正六边形的边长是

1

3

×(

1

2

)5a，
故选A．

点评：本题考查了正六边形、等边三角形的性质、平行四边形的性质和判定、全等三角形的性质和判定的应用，能总结出规律是解此题的关键，题目具有一定的规律性，是一道有一定难度的题目．