Question

正方形ABCD的边长为2，点G由A向D以每秒2个单位的速度运动，同时点E由D向A以每秒1个单位的速度运动，过点E且平行于CD的直线交BC于F，则当时间=

 

时直线EF和以BG为直径的圆相切．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：首先设经过t秒直线EF和以BG为直径的圆相切．切点为N，连接ON，延长ON交AB于点M，易得ON=2-2t，OB=

1+t2

，继而求得答案．

解答：解：如图，设经过t秒直线EF和以BG为直径的圆相切．切点为N，连接ON，延长ON交AB于点M，
则AG=2t，ED=t，
∴AE=AD-ED=2-t，
∵四边形ABCD是正方形，且EF∥CD，
∴四边形ABFE是矩形，
∵直线EF和以BG为直径的圆相切，
∴ON⊥EF，
∴OM⊥AB，
∴AM=BM=1，MN=AE=2-t，
∵OB=OG，
∴OM=

1

2

AG=t，
∴ON=MN-OM=2-t-t=2-2t，
∵ON=OB=

BM2+OM2

=

1+t2

，
∴2-2t=

1+t2

，
解得：t=

4- 7

3

或t=

4+ 7

3

（舍去）．
故答案为：

4- 7

3

．

点评：此题考查了切线的性质、垂径定理、正方形的性质与勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．