Question

（2012•枣阳市模拟）已知如图，矩形OABC的长OA=

3

，宽OC=1，将△AOC沿AC翻折得△AFC．
（1）求过A、F、C三点的抛物线解析式；
（2）设（1）中的抛物线与矩形OABC边CB相交于点D，与x轴相交于另外一点E，若点M是x轴上的点，N是y轴上的点，若以点E、M、D、N为顶点的四边形是平行四边形，试求点M、N的坐标；
（3）若动点P以每秒

2

3

3

个单位长度的速度从C点出发沿CB 向终点B运动，同时动点Q从A点出发以每秒

3

个单位长度的速度沿射线AO运动，当P运动到B点时，P，Q同时停止运动．当点P运动时间t（秒）为何值时，以P、C、O为顶点的三角形与以Q、O、C为顶点的三角形相似？

Answer 1

分析：（1）根据矩形的边长求得点F的坐标，利用待定系数法求得抛物线的解析式即可；
（2）首先求得抛物线与x轴的交点E的坐标，然后分当DN∥EM且DN=EM时和当M在E点右侧时求得M、N的坐标即可；
（3）若以P、C、Q为顶点的三角形与△QOC相似，因∠POC=∠QCO=90°，则有CQ=OP或OC²=CQ•OP．然后分当P、Q在y轴同侧时和当P、Q在y轴异侧时利用相似三角形的性质列出有关t的方程求解即可．

解答：解：（1）∵OA=

3

，OC=1，
∴tan∠OAC=

3

3

．
∴∠OAC=30°∠ACF=∠ACO=60°…（1分）
过F作FM⊥OA于M，交CB于G，则FG⊥CD．
∠GCF=30°，GF=

1

2

CF=

1

2

OC=

1

2

．
CG=

3

2

．
∴F（

3

2

，

3

2

）…（2分）
设过 A、B、C三点抛物线解析式为y=ax²+bx+c．
∴c=1
∴

3 4 a+ 3 2 b= 1 2 3a+ 3 b=-1.

…（3分）
解之，得

a=- 4 3 b= 3

∴y=-

4

3

x2+

3

x+1．…（4分）

（2）∵由-

4

3

x2+

3

x+1=0，得x₁=

3

，x₂=-

3

4

．
∴E（-

3

4

，0）…（5分）
由-

4

3

x2+

3

x+1=1，得x₁=0，x₂=

3

4

3

．
∴D（

3

4

3

，1）．…（6分）
①当DN∥EM且DN=EM时，当M在E点左侧时，M₁（-

3

，0），此时N₁（0，1）…（7分）
当M在E点右侧时，OM₂=

3

2

．
∴M₂（

3

2

，0），此时N₂（0，1）…（8分）
②当ED∥MN且ED=MN时，过D作DH⊥OA于H，M₃（

3

，0），N₃（0，-1）…（9分）

（3）若以P、C、Q为顶点的三角形与△QOC相似，因∠POC=∠QCO=90°，则有
CQ=OP或OC²=CQ•OP．
当P、Q在y轴同侧时：
由

2 3

3

t=

3

-

3

t，得t=

3

5

．…（10分）
由

2 3

3

t(

3

-

3

t)=1，得  2t²-2t+1=0．
△=4-8=-4＜0，故无解．
当P、Q在y轴异侧时：
由

2 3

3

t=

3

t-

3

，得t=3＞

3

2

，不合题意，舍去…（11分）
由

2 3

3

t(

3

t-

3

)=1，得2t²-2t-1=0.t1=

1- 3

2

＜0舍去，
t2=

1+ 3

2

∴t=

3

5

或

1+ 3

2

…（12分）

点评：本题考查了二次函数的综合知识，往往是中考题的压轴题，难度相对比较大．解决此类问题时充分考虑各种情况是解决此类题目的关键．