Question

如图，已知抛物线C₁：y = a(x+2)² -5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．

（1）求P点坐标及a的值；

（2）如图（1），抛物线C₂与抛物线C₁关于x轴对称，将抛物线C₂向右平移，平移后的抛物线记为C₃，C₃的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C₃的解析式；

（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C₁绕点Q旋转180°后得到抛物线C₄．抛物线C₄的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．

Answer 1

（1）P(-2,-5) 

把点B（1，0）代入y = a(x+2)² -5  得a=

（2）∵点P 、M关于点B成中心对称，且点P(-2,-5)、点B（1，0）

     ∴M（4，5）   

       C₃：y=-(x-4)²+5

（3）过点P作PG⊥x轴，过点N作NM⊥x轴。

设点Q（x,0），因为P(-2,-5)、N关于点Q对称

∴PN=2PQ=2

  NF=,PF=   

①     当=90°时，PN+FN=PF

  ∴4+34=25+(2x+7)

            得   x=          

②当°时，FN+PF=PN

 ∴34+25+(2x+7)=4

         得    x=              

③当时，不存在