Question

已知圆P的圆心P在反比例函数（k＞0）第一象限图象上，并与x轴相交于A、B两点，且始终与y轴相切于定点C（0，1）．
（1）求实数k的取值范围；
（2）求经过A、B、C三点的二次函数图象的解析式；
（3）若二次函数图象的顶点为D，问是否存在实数k，使四边形ADBP为菱形？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；
（4）此抛物线的顶点D是否可能在圆P内？并证明你的结论．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接PC、PA、PB，过P点作PH⊥x轴，垂足为H，P的坐标是（k，1），得到PA=PC=k，由PA＞PH即可得到答案；
（2）根据勾股定理得到AH=，得到A（k-，0），由⊙P交x轴于A、B两点，且PH⊥AB，由垂径定理可知，PH垂直平分AB，得到B（k+，0），可设该抛物线解析式为y=a（x-k）²+h，代入得到方程组求出即可；
^（3）抛物线顶点D坐标为（k，1-k²），根据四边形ADBP为菱形．则必有PH=DH，得到k²-1=1，求出即可；
（4）根据PD=1-（1-k²）=k²＞k=PA，判断即可．
解答：解：（1）连接PC、PA、PB，过P点作PH⊥x轴，垂足为H，
∵P点在反比例函数的图象上，
∴P的坐标是（k，1），
∴PA=PC=k，在Rt△PAH中，由PA＞PH，
解得：k＞1，
答：实数k的取值范围是k＞1．

（2）解：在Rt△APH中，AH==，
∴OA=OH-AH=k-，
∴A（k-，0），
∵由⊙P交x轴于A、B两点，且PH⊥AB，由垂径定理可知，PH垂直平分AB，
∴OB=OA+2AH=k-+2=k+，
∴B（k+，0），
故过A、B两点的抛物线的对称轴为PH所在的直线解析式为x=k，
可设该抛物线解析式为y=a（x-k）²+h，
又抛物线过C（0，1），B（k+，0），
得：，
解得a=1，h=1-k²，
∴抛物线解析式为y=（x-k）²+1-k²，
答：经过A、B、C三点的二次函数图象的解析式是y=（x-k）²+1-k²．

（3）解：由（2）知抛物线顶点D坐标为（k，1-k²），
∴DH=k²-1，
若四边形ADBP为菱形．则必有PH=DH，
∵PH=1，
∴k²-1=1，
又∵k＞1，
∴k=
∴当k取时，PD与AB互相垂直平分，则四边形ADBP为菱形，
答：存在实数k，使四边形ADBP为菱形，k的值是．

（4）答：D点不可能在圆P内，
证明：∵PD=1-（1-k²）=k²＞k=PA（圆P的半径），
所以D点不可能在圆P内．
点评：本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的三种形式，二次函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，勾股定理，解二元一次方程组等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．