Question

（2013•孝南区一模）已知关于x的一元二次方程x²+（2k-3）x+k²=0有两个不相等的实数根x₁，x₂．
（1）求k的取值范围；
（2）若（x₁+1）（x₂+1）=7，求k的值．

Answer 1

分析：（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得出△=b²-4ac的值大于0，建立关于k的不等式，解不等式即可求出k的取值范围；
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到x₁+x₂=-2k+3，x₁x₂=k²，再将它们代入（x₁+1）（x₂+1）=7，即可求出k的值．

解答：解：（1））△=（2k-3）²-4k²
=4k²-12k+9-4k²
=-12k+9．   
∵原方程有两个不相等的实数根，
∴-12k+9＞0，
解得 k＜

3

4

，
即实数k的取值范围是 k＜

3

4

；

（2）由根与系数的关系，x₁+x₂=-2k+3，x₁x₂=k²，
∵（x₁+1）（x₂+1）=7，
∴x₁x₂+x₁+x₂+1=7，
∴k²-2k+3+1=7，
化简得k²-2k-3=0，
（k-3）（k+1）=0
∴k=3或k=-1，
又∵k＜

3

4

，
∴k=-1．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0根的判别式和根与系数的关系的应用，用到的知识点：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根；（4）x₁+x₂=-

b

a

；（5）x₁•x₂=

c

a

．