Question

27、如图，△ABC和△ADC都是边长相等的等边三角形，点E、F同时分别从点B、A出发，各自沿BA、AD方向运动到点A、D停止，运动的速度相同，连接EC、FC．
（1）在点E、F运动过程中∠ECF的大小是否随之变化？请说明理由；
（2）在点E、F运动过程中，以点A、E、C、F为顶点的四边形的面积变化了吗？请说明理由；
（3）连接EF，在图中找出和∠ACE相等的所有角，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据SAS证明△BCE≌△ACF，得到∠ECB=∠FCA，从而证明结论；
（2）结合（1）中证明的全等三角形，即可发现以点A、E、C、F为顶点的四边形的面积即为△ABC的面积；
（3）根据等边三角形的判定可以证明△ECF是等边三角形，再进一步根据平角定义，得到∠AFE+∠DFC=120°，则∠AFE=∠FCD，从而求解．

解答：解：（1）∠ECF不变为60°．（1分）
理由如下：
∵△ABC和△ADC都是边长相等的等边三角形，
∴BC=AC=CD，∠B=∠D=60°，
又BE=DF，
∴△BCE≌△ACF，
∴∠ECB=∠FCA．（4分）
所以∠ECF=∠FCA+∠ACE=∠ECB+∠ACE=∠BCA=60°；（6分）

（2）不变化．理由如下：
∵四边形AECF的面积=△AFC的面积+△AEC的面积，（7分）
又△BCE≌△ACF，
∴△AEC的面积+△BEC的面积=△ABC的面积；（8分）


（3）证明：∵∠FCD+∠DFC=120°，∠AFE+∠DFC=120°，
∴∠AFE=∠FCD，
所以∠ACE=∠FCD=∠AFE．（10分）

点评：此题综合运用了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等．注意：在证明两个角相等的时候，要善于发现它们和一个公共角的和相等．