Question

如图，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，点B，C，D在一条直线上，点M是AE的中点，BC=3，CD=1．
（1）求证：tan∠AEC=

BC

CD

；
（2）请探究BM与DM的数量关系，并给出证明．

Answer 1

分析：（1）由△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，易证得∠ACE=90°，△ABC∽△CDE，即可得

AC

EC

=

BC

CD

，又由在Rt△ACE中，tan∠AEC=

AC

EC

，即可证得tan∠AEC=

BC

CD

；
（2）首先过点M作MN⊥BD，垂足为N，易得AB∥MN∥ED，又由点M是AE的中点，易得N是BD的中点，然后利用线段垂直平分线的性质，即可证得BM=DM．

解答：（1）证明：∵△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，
∴AB=BC，CD=DE，
∴∠BAC=∠BCA=∠DCE=∠DEC=45°，
∴∠ACE=90°；
∵△ABC∽△CDE，
∴

AC

EC

=

BC

CD

，
∵在Rt△ACE中，tan∠AEC=

AC

EC

，
∴tan∠AEC=

BC

CD

；

（2）BM=DM．
证明：过点M作MN⊥BD，垂足为N，
∵∠ABC=∠EDC=90°，
∴AB⊥BD，ED⊥BD，
∴AB∥MN∥ED，
∴AM：EM=BN：DN，
∵点M是AE的中点，
即AM=EM，
∴BN=DN，
∴BM=DM．

点评：此题考查了等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、线段垂直平分线的性质以及三角函数的定义．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用，注意掌握辅助线的作法．