Question

如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣x²+12的图象与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点（点B在点C的左侧），连接AB，AC．

（1）点B的坐标为　  　，点C的坐标为　 　；

（2）过点C作射线CD∥AB，点M是线段AB上的动点，点P是线段AC上的动点，且始终满足BM=AP（点M不与点A，点B重合），过点M作MN∥BC分别交AC于点Q，交射线CD于点N （点 Q不与点P重合），连接PM，PN，设线段AP的长为n．

①如图2，当n＜AC时，求证：△PAM≌△NCP；

②直接用含n的代数式表示线段PQ的长；

③若PM的长为，当二次函数y=﹣x²+12的图象经过平移同时过点P和点N时，请直接写出此时的二次函数表达式．

Answer 1

解：（1）答：（﹣9，0），（9，0）．

B、C为抛物线与x轴的交点，故代入y=0，得y=﹣x²+12=0，

解得 x=﹣9或x=9，

即B（﹣9，0），C（9，0）．

 

（2）①证明：∵AB∥CN，

∴∠MAP=∠PCN，

∵MN∥BC，

∴四边形MBCN为平行四边形，

∴BM=CN，

∵AP=BM，

∴AP=CN，

∵BO=OC，OA⊥BC，

∴OA垂直平分BC，

∴AB=AC，

∴AM=AB﹣BM=AC﹣AP=CP．

在△MAP和△PCN中，

，

∴△MAP≌△PCN（AAS）．

②解：1．当n＜AC时，如图1，

，

∵四边形MBCN为平行四边形，

∴∠MBC=∠QNC，

∵AB=AC，MN∥BC，

∴∠MBC=∠QCB=∠NQC，

∴∠NQC=∠QNC，

∴CN=CQ，

∵△MAP≌△PCN，

∴AP=CN=CQ，

∵AP=n，AC===15，

∴PQ=AC﹣AP﹣QC=15﹣2n．

2．当n=AC时，显然P、Q重合，PQ=0．

3．当n＞AC时，如图2，

∵四边形MBCN为平行四边形，

∴∠MBC=∠QNC，BM=CN

∵AB=AC，MN∥BC，

∴∠MBC=∠QCB=∠NQC，

∴∠NQC=∠QNC，

∴BM=CN=CQ，

∵AP=BM，

∴AP=CQ，

∵AP=n，AC=15，

∴PQ=AP+QC﹣AC=2n﹣15．

综上所述，当n≤AC时，PQ=15﹣2n；当n＞AC时，PQ=2n﹣15．

③或．

分析如下：

1．当n≤AC时，如图3，过点P作x轴的垂线，交MN于E，交BC于F．

此时△PEQ∽△PFC∽△AOC，PQ=15﹣2n．

∵PM=PN，

∴ME=EN=MN=BC=9，

∴PE===4，

∵OC：OA：AC=3：4：5，△PEQ∽△PFC∽△AOC，

∴PQ=5，

∴15﹣2n=5，

∴AP=n=5，

∴PC=10，

∴FC=6，PF=8，

∵OF=OC﹣FC=9﹣6=3，EN=9，EF=PF﹣PE=8﹣4=4，

∴P（3，8），N（12，4）．

设二次函数y=﹣x²+12平移后的解析式为y=﹣（x+k）²+12+h，

∴，

解得 ，

∴y=﹣（x+6）²+12+8=﹣x²+x+4．

2．当n＞AC时，如图4，过点P作x轴的垂线，交MN于E，交BC于F．

此时△PEQ∽△PFC∽△AOC，PQ=2n﹣15．

∵PM=PN，

∴ME=EN=MN=BC=9，

∴PE===4，

∵OC：OA：AC=3：4：5，△PEQ∽△PFC∽△AOC，

∴PQ=5，

∴2n﹣15=5，

∴AP=n=10，

∴PC=5，

∴FC=3，PF=4，

∵OF=OC﹣FC=9﹣3=6，EN=9，EF=PF+PE=4+4=8，

∴P（6，4），N（15，8）．

设二次函数y=﹣x²+12平移后的解析式为y=﹣（x+k）²+12+h，

∴，

解得 ，

∴y=﹣（x﹣12）²+12﹣=﹣x²+x﹣12．