Question

如图，四边形ABCD是正方形，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A₁，作正方形A₁B₁C₁C；延长C₁B₁交x轴于点A₂，作正方形A₂B₂C₂C₁；…；按这样的规律作下去，第2011个正方形的面积为（　　）

• A、5（

  3

  2

  ）²⁰¹⁰
• B、5（

  9

  4

  ）²⁰¹⁰
• C、5（

  3

  2

  ）²⁰¹¹
• D、5（

  9

  4

  ）²⁰¹¹

Answer 1

分析：先根据两对对应角相等的三角形相似，证明△AOD和△A₁BA相似，根据相似三角形对应边成比例可以得到AB=2A₁B，所以正方形A₁B₁C₁C的边长等于正方形ABCD边长的

3

2

，以此类推，后一个正方形的边长是前一个正方形的边长的

3

2

，然后即可求出第2011个正方形的边长与第1个正方形的边长的关系，从而求出第2011个正方形的面积．

解答：解：如图，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC，
∴∠ABA₁=90°，∠DAO+∠BAA₁=90°，
又∵是坐标平面内，∴∠DAO+∠ADO=90°，
∴∠ADO=∠BAA₁，
在△AOD和A₁BA中，

∠AOD=∠ABA1=90° ∠ADO=∠BAA1

，
∴△AOD∽△A₁BA，
∴

OD

AO

=

AB

A1B

=2，
∴BC=2A₁B，
∴A₁C=

3

2

BC，
以此类推A₂C₁=

3

2

A₁C，A₃C₂=

3

2

A₂C₁，…，
即后一个正方形的边长是前一个正方形的边长的

3

2

倍，
∴第2011个正方形的边长为（

3

2

）²⁰¹⁰BC，
∵A的坐标为（1，0），D点坐标为（0，2），
∴BC=AD=

12+22

=

5

，
∴第2011个正方形的面积为[（

3

2

）²⁰¹⁰BC]²=5（

3

2

）⁴⁰²⁰=5（

9

4

）²⁰¹⁰．
故选B．

点评：本题主要考查了相似三角形的性质与正方形的性质，根据规律推出第2011个正方形的边长与第1个正方形的边长的关系是解题的关键，也是难点，本题综合性较强．