Question

请阅读材料：
①一般地，n个相同的因数a相乘：

a•a…•a

n个

记为aⁿ，如2•2•2=2³=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log₂8 （即log₂8=log₂2³=3）．  
②一般地，若aⁿ=b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为log_ab（即log_ab=log_aaⁿ=n），如3⁴=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log₃81（即log₃81=log₃3⁴=4）．
（1）计算下列各对数的值：
log₂4=

2

；log₂16=

4

；log₂64=

6

．
（2）观察（1）题中的三数，4，16，64之间存在怎样的关系式

4×16=64

log₂4，log₂16，log₂64又存在怎样的关系式．

log₂4+log₂16=log₂64

（3）由（2）题猜想 log_aM+log_aN=

log_aMN

（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0），并结合幂的运算法则：a^m•aⁿ=a^m+n加以证明．

Answer 1

分析：（1）根据对数的定义，确定每个式子中对应的b是a的几次方，则式子的值就是几；
（2）根据4×16=64，即可写出关系式；
（3）根据（2）的结果即可直接写出结论，然后根据同底数的幂的乘法法则，证明log_aa^m+log_aaⁿ=log_aa^m•aⁿ，即可证得．

解答：（1）解：∵4=2²，16=2⁴，64=2⁶，
∴log₂4=2；log₂16=4；log₂64=6；

（2）解：4，16，64之间存在怎样的关系式：4×16=64；
又∵2+4=6，
∴log₂4，log₂16，log₂64存在怎样的关系式：log₂4+log₂16=log₂64；

（3）log_aM+log_aN=log_aMN，
证明：∵a^m•aⁿ=a^m+n，
∴log_aa^m•aⁿ=log_aa^m+n=m+n，
∵log_aa^m+log_aaⁿ=m+n，
∴log_aa^m+log_aaⁿ=log_aa^m•aⁿ，
设M=a^m，N=aⁿ，
则log_aM+log_aN=log_aMN．
故答案是：（1）2；4；6；

（2）解：4×16=64；
log₂4+log₂16=log₂64；
log_aMN

点评：本题考查了幂的运算，正确理解题目中给出的对数的定义是关键．