题目内容
【题目】在
中，
，
是直线
上一点，以
为一条边在右侧作
，使
，
，连接
.
（1）如图，当点在延长线上移动时，若
，则
_____.
（2）设
，
.
①当点在延长线上移动时，
与
之间有什么数量关系？请说明理由；
②当点在直线上（不与
两点重合）移动时，与之间有什么数量关系？
请直接写出你的结论.
【答案】(1)
；(2) ①
，理由见解析；②当
在线段
上时，
，当点在线段延长线或反向延长线上时，.
【解析】
（1）证△BAD≌△CAE，推出∠B=∠ACE，根据三角形外角性质求出即可；
（2）①证△BAD≌△CAE，推出∠B=∠ACE，根据三角形外角性质求出即可
②分当D在线段BC上时，当点D在线段BC反向延长线上时，当点D在线段BC的延长线上时三种情况讨论，根据三角形外角性质求出即可．
解：（1）
，
，
，
在
和
中
，
，
，
，
，
，
；
（2）①解：当点在线段的延长线上移动时，
与
之间的数量关系是
，理由是：
，
，
，
在和中
，
，
，
，
，
，
，
；
②分三种情况：
i）当D在线段BC上时，如图2，α+β=180°，
理由是：同理可证明：△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ADB=∠AEC，∠ABC=∠ACE，
∵∠ADC+∠ADB=180°，
∴∠ADC+∠AEC=180°，
∴∠DAE+∠DCE=180°，
∵∠BAC=∠DAE=α，∠DCE=β，
∴α+β=180°，
ii）当点D在线段BC反向延长线上时，如图3，α=β．
如图3，同理可证明：△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠ABD=∠ACD+∠BAC，
∴∠ACD+∠DCE=∠ACD+∠BAC，
∴∠BAC=∠DCE，
∵∵∠BAC=α，∠DCE=β，
∴α=β；
iii）当点D在线段BC的延长线上时，如图1，α=β．
综上，当点D在BC上移动时，α=β或α+β=180°．
