Question

（2013•葫芦岛）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，BA⊥AD，BC=DC，BE⊥CD于点E．
（1）求证：△ABD≌△EBD；
（2）过点E作EF∥DA，交BD于点F，连接AF．求证：四边形AFED是菱形．

Answer 1

分析：（1）首先证明∠1=∠2．再由BA⊥AD，BE⊥CD可得∠BAD=∠BED=90°，然后再加上公共边BD=BD可得△ABD≌△EBD；
（2）首先证明四边形AFED是平行四边形，再有AD=ED，可得四边形AFED是菱形．

解答：证明：（1）如图，
∵AD∥BC，
∴∠1=∠DBC．
∵BC=DC，
∴∠2=∠DBC．
∴∠1=∠2．
∵BA⊥AD，BE⊥CD
∴∠BAD=∠BED=90°，
在△ABD和△EBD中

∠1=∠2 ∠BAD=∠BED BD=BD

，
∴△ABD≌△EBD（AAS）；

（2）由（1）得，AD=ED，∠1=∠2．
∵EF∥DA，
∴∠1=∠3．
∴∠2=∠3．
∴EF=ED．
∴EF=AD．
∴四边形AFED是平行四边形．
又∵AD=ED，
∴四边形AFED是菱形．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形．