Question

已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开，折痕EF交AD边于E，交BC边于F，分别连接AF和CE．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm²，求△ABF的周长；
（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE²=AC•AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：连接EF交AC于O，
当顶点A与C重合时，折痕EF垂直平分AC，
∴OA=OC，∠AOE=∠COF=90°
∵在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
∴△AOE≌△COF（ASA）．
∴OE=OF
∴四边形AFCE是菱形．

（2）解：四边形AFCE是菱形，∴AF=AE=10．
设AB=x，BF=y，∵∠B=90，
∴（x+y）²-2xy=100①
又∵S_△ABF=24，∴xy=24，则xy=48．②
由①、②得：（x+y）²=196
∴x+y=14，x+y=-14（不合题意舍去）
∴△ABF的周长为x+y+AF=14+10=24．

（3）解：过E作EP⊥AD交AC于P，则P就是所求的点．
证明：由作法，∠AEP=90°，
由（1）得：∠AOE=90°，又∠EAO=∠EAP，
∴△AOE∽△AEP，
∴=，则AE²=AO•AP
∵四边形AFCE是菱形，∴AO=AC，AE²=AC•AP
∴2AE²=AC•AP
即P的位置是：过E作EP⊥AD交AC于P．
分析：（1）因为是对折所以AO=CO，利用三角形全等证明EO=FO，四边形便是菱形；
（2）因为面积是24，也就是AB、BF的积可以求出，所以求周长只要求出AB、BF的和就可以，而结合勾股定理它们和的平方减去乘积二倍就是AF的平方；
（3）因为AC=AO所以可以从与△AOE相似的角度考虑，即过E作EP⊥AD．
点评：本题主要考查（1）菱形的判定方法“对角线互相垂直且平分的四边形”，（2）相似三角形的判定和性质．