Question

（1）阅读理解：配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值．
对于任意正实数a、b，可作如下变形a+b=(

a

)2+(

b

)2=(

a

)2+(

b

)2-2

ab

+2

ab

=(

a

-

b

)2+2

ab

，
又∵(

a

-

b

)2≥0，∴(

a

-

b

)2+2

ab

≥0+2

ab

，即a+b≥2

ab

．
根据上述内容，回答下列问题：在a+b≥2

ab

（a、b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b≥2

p

，当且仅当a、b满足

 

时，a+b有最小值2

p

．
（2）思考验证：如图1，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，CO为AB边上中线，AD=2a，DB=2b，试根据图形验证a+b≥2

ab

成立，并指出等号成立时的条件．
（3）探索应用：如图2，已知A为反比例函数y=

4

x

的图象上一点，A点的横坐标为1，将一块三角板的直角顶点放在A处旋转，保持两直角边始终与x轴交于两点D、E，F（0，-3）为y轴上一点，连接DF、EF，求四边形ADFE面积的最小值．

Answer 1

分析：（1）有给出的材料可知a=b时；
（2）因为AD=2a，DB=2b，所以AB=2a+2b，CO为中线，所以CO=a+b，再利用射影定理得CD=

AD•DB

=2

ab

，在直角三角形COD中斜边大于直角边即CO＞CD，问题得证；
（3）把A点的横坐标为1，代入函数y=

4

x

得，y=4，由（2）知：当DH=EH时，DE最小，此时S_{四边形ADFE}=

1

2

×8×（4+3）=28．

解答：解：（1）a=b

（2）由已知得CO=a+b，CD=2

ab

，
CO≥CD，即a+b≥2

ab

．
当D与O重合时或a=b时，等式成立．

（3）S_{四边形ADFE}=S_△ADE+S_△FDE
=

1

2

DE•|yA|+

1

2

DE•OF=

1

2

DE(|yA|+OF)，
当DE最小时S_{四边形ADFE}最小．
过A作AH⊥x轴，由（2）知：当DH=EH时，DE最小，
在RT△ADE中，AH=

1

2

DE，
∴DE=2AH=2×4=8，
∴DE最小值为8，
此时S_{四边形ADFE}=

1

2

×8×（4+3）=28．

点评：本题考查了反比例函数的综合运用：利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．