Question

如图，在等腰△ABC中，点D、E分别是两腰AC、BC上的点，连接AE、BD相交于点O，∠1=∠2．
（1）求证：OD=OE；
（2）求证：四边形ABED是等腰梯形；
（3）若AB=3DE，△DCE的面积为2，求四边形ABED的面积．

Answer 1

：（1）证明：如图，∵△ABC是等腰三角形，
∴AC=BC，∴∠BAD=∠ABE，
又∵AB=BA、∠2=∠1，∴△ABD≌△BAE（ASA），
∴BD=AE，又∵∠1=∠2，∴OA=OB，
∴BD﹣OB=AE﹣OA，
即：OD=OE；
（2）证明：由（1）知：OD=OE，∴∠OED=∠ODE，
∴∠OED=（180°﹣∠DOE），
同理：∠1=（180°﹣∠AOB），
又∵∠DOE=∠AOB，
∴∠1=∠OED，
∴DE∥AB，
∵AD、BE是等腰三角形两腰所在的线段，
∴AD与BE不平行，
∴四边形ABED是梯形，
又由（1）知，
∴△ABD≌△BAE，
∴AD=BE
∴梯形ABED是等腰梯形；
（3）解：由（2）可知：DE∥AB，
∴△DCE∽△ACB，
∴，
即：．
∴△ACB的面积=18，
∴四边形ABED的面积=△ACB的面积﹣△DCE的面积=18﹣2=16．
解析:
：（1） 如图，由△ABC是等腰三角形，得到∠BAD=∠ABE，，然后利用已知条件证明△ABD≌△BAE，由全等三角形的性质得到BD=AE，又由∠1=∠2得到OA=OB，由此即可证明OD=OE；
（2）由（1）的OD=OE根据等腰三角形的性质得到∠OED=∠ODE，根据三角形的内角和得到∠OED=（180°﹣∠DOE），∠1=（180°﹣∠AOB），而∠DOE=∠AOB，所以得到∠1=∠OED，然后利用平行线的判定得到DE∥AB，最后证明AD与BE不平行，这样就可以证明梯形ABED是等腰梯形；
（3）由（2）可知DE∥AB，然后得到△DCE∽△ACB，接着利用相似三角形的性质即可求出△ACB的面积，然后就可以 求出四边形ABED的面积．