Question

如图，CD为⊙O的直径，点A在⊙O上，过点A作⊙O的切线交CD的延长线于点F．已知∠F=30°．
（1）求∠C的度数；
（2）若点B在⊙O上，AB⊥CD，垂足为E，AB=4

3

，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析：（1）根据切线的性质得到∠OAF=90°，又∠F=30°所以∠AOD=60°，然后利用三角形外角的性质求出∠C的度数；
（2）分析题意得到图中阴影部分的面积等于扇形OAD的面积减去三角形OAE的面积，扇形的圆心角为60°，根据AB=4

3

可以求出半径为4，OE=2，利用扇形面积公式求出扇形的面积，利用三角形的面积公式求出三角形的面积，然后用扇形面积减去三角形的面积得到阴影部分的面积．

解答：解：（1）如图，连接OA，
∵AF切⊙O于点A，
∴∠OAF=90°．
∵∠F=30°，
∴∠AOD=60°．
∵OA=OC，
∴∠C=∠CAO=30°；

（2）∵AB⊥直径CD，AB=4

3

，
∴AE=2

3

，
∴在Rt△OAE中，OE=2，OA=4．
∴S_扇形AOD=

60×π×16

360

=

8π

3

，S_△AOE=

1

2

OE•AE=

1

2

×2×2

3

=2

3

．
∴S_阴影=S_扇形AOD-S_△AOE=

8π

3

-2

3

．

点评：本题考查的是扇形面积的计算，（1）根据AF是圆的切线，然后利用切线的性质和三角形外角的性质可以求出∠C的度数．（2）阴影部分的面积等于扇形的面积减去三角形的面积，然后利用扇形面积公式和三角形面积公式计算求出阴影部分的面积．