Question

在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，设运动时间为t秒．
（1）用含t的代数式表示线段BP和BQ；
（2）几秒钟后△PBQ的面积等于8cm²？
（3）当t为何值时，△ABC与△PBQ相似？

Answer 1

解：（1）∵点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，
∴AP=t，BQ=2t，
∴BP=AB-AP=6-t；

（2）设经过x秒钟，使△PBQ的面积为8cm²，
BP=6-x，BQ=2x，
∵∠B=90°，
∴BP×BQ=8，
∴×（6-x）×2x=8，
∴x₁=2，x₂=4，
答：如果点P、Q分别从A、B同时出发，经过2或4秒钟，使△PBQ的面积为8cm²．

（3）设经过a秒钟，使△PBQ与△ABC相似，
∵∠B=∠B，
第一种情况：当时，△PBQ与△ABC相似，
即，
解得：a=3，
第二种情况：当时，△PBQ与△ABC相似，
即，
解得：a=1.2．
答：如果点P、Q分别从A、B同时出发，经过3或1.2秒钟，使△PBQ与△ABC相似．
分析：（1）根据路程=速度×时间即可用含t的代数式表示线段BP和BQ；
（2）设经过x秒钟，使△PBQ的面积为8cm²，由（1）得到BP=6-x，BQ=2x，根据三角形的面积公式得出方程×（6-x）×2x=8，求出即可；
（3）设经过a秒钟，使△PBQ与△ABC相似，根据两边成比例并且夹角相等的两三角形相似得到第一种情况和第二种情况代入求出即可．
点评：本题主要考查对解一元一次方程，解一元二次方程，相似三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能求出符合条件的所有情况是解此题的关键．