Question

已知二次函数y=x²-2（m-1）x+m²-2．
（1）证明：不论m为何值，二次函数图象的顶点均在同一直线上，求出此直线的函数解析式；
（2）若二次函数图象在x轴上截得的线段长为4，求出此二次函数的解析式．

Answer 1

分析：（1）先根据二次函数的解析式求出其顶点坐标，而其顶点坐标为新函数上任意一点，即横坐标为x=m-1，纵坐标为y=2m-3，整理即可得到所求函数的解析式；
（2）根据根与系数的关系求出两根之积与两根之和的表达式，再将|x₂-x₁|=4两边平方，转化为关于m的方程，解答即可．

解答：解：（1）二次函数的顶点坐标为（m-1，2m-3），
顶点坐标在某一直线的图象上，
即横坐标为x=m-1，
纵坐标为y=2m-3=2（x+1）-3
y=2x-1．
故不论m为何值，二次函数的顶点都在直线y=2x-1上；

（2）设二次函数的图象与x轴交于点A（x₁，0），B（x₂，0），
由已知|x₂-x₁|=4，再利用根与系数的关系，得

x1+x2=2(m-1) x1 x2 =m2-2

又（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂
∴16=4（m-1）²-4（m²-2）
解得：m=-

1

2

∴原二次函数的解析式为：y=x²+3x-

7

4

．

点评：此题考查了抛物线与x轴的交点及二次函数根与系数的关系，综合性较强，要求同学们有较强的分析能力．