Question

图中是一副三角板，45°的三角板Rt△DEF的直角顶点D恰好在30°的三角板Rt△ABC斜边AB的中点处，∠A=30。，∠E= 45。，∠EDF=∠ACB=90。 ，DE交AC于点G，GM⊥AB于M． （1）如图①，当DF经过点C 时，作CN⊥AB于N，求证：AM=DN． （2）如图②，当DF∥AC时，DF交BC于H，作HN⊥AB于N，（1）的结论仍然成立，请你说明理由．

Answer 1

（1）∵∠A=30°，∠ACB=90°， D是AB的中点． ∴BC=BD， ∠B=60° ∴△BCD是等边三角形． 又∵CN⊥DB， ∴ ∵∠EDF=90°，△BCD是等边三角形． ∴∠ADG=30°， 而∠A=30°． ∴GA=GD．  ∵GM⊥AB ∴ 又∵AD=DB  ∴AM=DN ； （2）∵DF∥AC ∴∠1=∠A=30°，∠AGD=∠GDH=90°， ∴∠ADG=60°． ∵∠B=60°，AD=DB， ∴△ADG≌△DBH ∴AG=DH， 又∵∠1=∠A，GM⊥AB，HN⊥AB， ∴△AMG≌△DNH． ∴AM=DN ．