Question

【问题】如图，在正方形ABCD内有一点P，PA=，PB=，PC=1，求∠BPC的度数．

分析根据已知条件比较分散的特点，我们可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到了△BP′A（如图），然后连结PP′．

解决问题请你通过计算求出图17-2中∠BPC的度数；

【类比研究】如图，若在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA=，PB=4，PC=2.

（1）∠BPC的度数为       ；（2）直接写出正六边形ABCDEF的边长为         ．

 

Answer 1

【答案】

【问题】90°；【类比研究】（1）120°；（2）

【解析】

试题分析：【问题】根据旋转的性质得到∠P′BP=90°，BP′=BP=，P′A=PC=1，∠BP′A=∠BPC，则△BPP′为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得PP′=PB=2，∠BP′P=45°，利用勾股定理的逆定理可得到△APP′为直角三角形，且∠AP′P=90°，则∠BPC=∠BP′A=45°+90°=135°；

【类比研究】把△BPC绕点B逆时针旋转120°，得到了△BP′A，根据旋转的性质得到∠P′BP=120°，BP′=BP=4，P′A=PC=2，∠BP′A=∠BPC，则∠BP′P=∠BPP′=30°，得到P′H=PH，利用含30°的直角三角形三边的关系得到BH=BP′=2，P′H= BH=2，得到P′P=2P′H=4，再利用勾股定理的逆定理可得到△APP′为直角三角形，且∠AP′P=90°，于是有∠BPC=∠BP′A=30°+90°=120°；过A作AG⊥BP′于G点，利用含30°的直角三角形三边的关系得到GP′=AP′=1，AG=GP′=，然后在Rt△AGB中利用勾股定理即可计算出AB长．

【问题】得到如图所示的图形，

根据旋转的性质可得PB="P′B," PC=P′A

又因为BC="AB," ∴△PBC≌△P′BA，

∴∠PBC="∠P′BA" ，∠BPC="∠BP′A" , PB= P′B=，

∴∠P′BP=90°，所以△P′BP为等腰直角三角形，

则有P′P=2，∠BP′P=45°．                          

又因为PC=P′A=1，P′P =2，PA=，

满足P′A²+ P′P²= PA²，由勾股定理的逆定理可知∠AP′P=90°，  

因此∠BPC=∠BP′A=45°+90°=135°．                 

【类比研究】（1）如图

∵六边形ABCDEF为正六边形，

∴∠ABC=120°，

把△BPC绕点B逆时针旋转120°，得到了△BP′A，

∴∠P′BP=120°，BP′=BP=4，P′A=PC=2，∠BP′A=∠BPC，

∴∠BP′P=∠BPP′=30°，

过B作BH⊥PP′于H，

∵BP′=BP，

∴P′H=PH，

在Rt△BP′H中，∠BP′H=30°，BP′=4，

∴BH=BP′=2，P′H=BH=2，

∴P′P=2P′H=4，

在△APP′中，AP=2，PP′=4，AP′=2，

∵（2）²=（4）²+2²，

∴AP²=PP′²+AP′²，

∴△APP′为直角三角形，且∠AP′P=90°，

∴∠BP′A=30°+90°=120°，

∴∠BPC=120°，

（2）过A作AG⊥BP′于G点，

∴∠AP′G=60°，

在Rt△AGP′中，AP′=2，∠GAP′=30°，

∴GP′=AP′=1，AG=GP′=，

在Rt△AGB中，GB=GP′+P′B=1+4=5，

即正六边形ABCDEF的边长为.

考点：旋转、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理与逆定理，含30°的直角三角形的性质

点评：解题的关键是熟练掌握旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．