题目内容

阅读材料：
学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算 $数学公式$ 的近似值．
小明的方法：
∵ $数学公式$ ＜ $数学公式$ ＜ $数学公式$ ，
设 $数学公式$ =3+k（0＜k＜1）．
∴ $数学公式$ ．
∴13=9+6k+k²．
∴13≈9+6k．
解得 k≈ $数学公式$ ．
∴ $数学公式$ ≈3+ $数学公式$ ≈3.67．
问题：
（1）请你依照小明的方法，估算 $数学公式$ 的近似值；
（2）请结合上述具体实例，概括出估算 $数学公式$ 的公式：已知非负整数a、b、m，若a＜ $数学公式$ ＜a+1，且m=a²+b，则 $数学公式$ ≈______（用含a、b的代数式表示）；
（3）请用（2）中的结论估算 $数学公式$ 的近似值．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ，
设 $\text{[math]}$ =6+k（0＜k＜1），
∴ $\text{[math]}$ ，
∴41=36+12k+k²，
∴41≈36+12k．
解得k≈ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ≈6+ $\text{[math]}$ ≈6+0.42=6.42；

（2）设 $\text{[math]}$ =a+k（0＜k＜1），
∴m=a²+2ak+k²≈a²+2ak，
∵m=a²+b，
∴a²+2ak=a²+b，
解得k= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ≈a+ $\text{[math]}$ ；

（3） $\text{[math]}$ ≈6+ $\text{[math]}$ ≈6.08．
分析：（1）根据题目信息，找出41前后的两个平方数，从而确定出 $\text{[math]}$ =6+k（0＜k＜1），再根据题目信息近似求解即可；
（2）根据题目提供的求法，先求出k值，然后再加上a即可；
（3）把a换成6，b换成1代入公式进行计算即可得解．
点评：本题考查了无理数的估算，读懂题目提供信息，然后根据信息中的方法改变数据即可，难度不大，很有趣味性．

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阅读材料，解答问题：
命题：如图，在锐角△ABC中，BC=a，CA=b，AB=c，△ABC的外接圆半径为R，则

=2R．
证明：连接CO并延长交⊙O于点D，连接DB，则∠D=∠A．
因为CD是⊙O的直径，所以∠DBC=90°，
在Rt△DBC中，sin∠D=

，
所以sinA=

=2R，
同理：

=2R，
请阅读前面所给的命题和证明后，完成下面（1）（2）两题：
（1）前面阅读材料中省略了“

=2R”的证明过程，请你把“

=2R”的证明过程补写出来．
（2）直接运用阅读材料中命题的结论解题，已知锐角△ABC中，BC=

，∠A=60°，求△ABC的外接圆半径R及∠C．

阅读材料：
学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算

的近似值．
小明的方法：
∵

=3+k（0＜k＜1）．
∴(

)2=(3+k)2．
∴13=9+6k+k²．
∴13≈9+6k．
解得 k≈

≈3.67．
问题：
（1）请你依照小明的方法，估算

的近似值；
（2）请结合上述具体实例，概括出估算

的公式：已知非负整数a、b、m，若a＜

＜a+1，且m=a²+b，则

（用含a、b的代数式表示）；
（3）请用（2）中的结论估算

的近似值．

同学们，学习了无理数之后，我们已经把数的领域扩大到了实数的范围，这说明我们的知识越来越丰富了！可是，无理数究竟是一个什么样的数呢？下面让我们在几个具体的图形中认识一下无理数．
（1）如图①△ABC是一个边长为2的等腰直角三角形．它的面积是2，把它沿着斜边的高线剪开拼成如图②的正方形ABCD，则这个正方形的面积也就等于正方形的面积即为2，则这个正方形的边长就是

，它是一个无理数．

（2）如图，直径为1个单位长度的圆从原点O沿数轴向右滚动一周，圆上的一点P（滚动时与点O重合）由原点到达点O′，则OO′的长度就等于圆的周长π，所以数轴上点O′代表的实数就是

，它是一个无理数．

（3）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，根据勾股定理可求得AB=

，它是一个无理数．

好了，相信大家对无理数是不是有了更具体的认识了，那么你是也试着在图形中作出两个无理数吧：
1、你能在6×8的网格图中（每个小正方形边长均为1），画出一条长为

的线段吗？

2、学习了实数后，我们知道数轴上的点与实数是一一对应的关系．那么你能在数轴上找到表示 -

阅读材料：
学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算

的近似值。
小明的方法：
∵

=3+k（0<k<1）.
∴（

）²=（3+k）²∴13=9+6k+k²∴13≈9+6k
解得 k≈

≈3.67。
问题：（1）请你依照小明的方法，估算

的近似值；
（2）请结合上述具体实例，概括出估算

的公式：已知非负整数a、b、m，若a<

<a+1，且m=a²+b，则

≈_________________(用含a、b的代数式表示)；
（3）请用（2）中的结论估算

的近似值.。