Question

(9分)已知：△ABC是边长为4的等边三角形，点O在边AB上，⊙O过点B且
分别与边AB，BC相交于点D，E，EF⊥AC，垂足为F.
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）当直线DF与⊙O相切时，求⊙O的半径.

Answer 1

解：（1）证明：连接OE，则OB=OE。

∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠C=60°。
∴△OBE是等边三角形。
∴∠OEB="∠C" =60°。∴OE∥AC。
∵EF⊥AC，∴∠EFC=90°。∴∠OEF=∠EFC=90°。
∴EF是⊙O的切线。
（2）连接DF,  ∵DF是⊙O的切线，∴∠ADF=90°。
设⊙O的半径为r，则BE=r，EC=，AD=。
在Rt△ADF中，∵∠A=60°， ∴AF=2AD=。
∴FC=。
在Rt△CEF中， ∵∠C=60°， ∴EC=2FC。
∴=2（）。
解得。∴⊙O的半径是。

解析