Question

如图，已知∠ABC=90°，AB=BC．直线l与以BC为直径的圆O相切于点C．点F是圆O上异于B、C的动点，直线BF与l相交于点E，过点F作AF的垂线交直线BC与点D．
（1）如果BE=15，CE=9，求EF的长；
（2）证明：①△CDF∽△BAF；②CD=CE；
（3）探求动点F在什么位置时，相应的点D位于线段BC的延长线上，且使BC=

3

CD，请说明你的理由．

Answer 1

分析：（1）由直线l与以BC为直径的圆O相切于点C，即可得∠BCE=90°，∠BFC=∠CFE=90°，则可证得△CEF∽△BEC，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求得EF的长；
（2）①由∠FCD+∠FBC=90°，∠ABF+∠FBC=90°，根据同角的余角相等，即可得∠ABF=∠FCD，同理可得∠AFB=∠CFD，则可证得△CDF∽△BAF；
②由△CDF∽△BAF与△CEF∽△BCF，根据相似三角形的对应边成比例，易证得

CD

BA

=

CE

BC

，又由AB=BC，即可证得CD=CE；
（3）由CE=CD，可得BC=

3

CD=

3

CE，然后在Rt△BCE中，求得tan∠CBE的值，即可求得∠CBE的度数，则可得F在⊙O的下半圆上，且

BF

=

2

3

BC

．

解答：（1）解：∵直线l与以BC为直径的圆O相切于点C．
∴∠BCE=90°，
又∵BC为直径，
∴∠BFC=∠CFE=90°，
∵∠FEC=∠CEB，
∴△CEF∽△BEC，
∴

CE

BE

=

EF

CE

，
∵BE=15，CE=9，
即：

9

15

=

EF

9

，
解得：EF=

27

5

；

（2）证明：①∵∠FCD+∠FBC=90°，∠ABF+∠FBC=90°，
∴∠ABF=∠FCD，
同理：∠AFB=∠CFD，
∴△CDF∽△BAF；
②∵△CDF∽△BAF，
∴

CF

BF

=

CD

BA

，
又∵∠FCE=∠CBF，∠BFC=∠CFE=90°，
∴△CEF∽△BCF，
∴

CF

BF

=

CE

BC

，
∴

CD

BA

=

CE

BC

，
又∵AB=BC，
∴CE=CD；

（3）解：∵CE=CD，
∴BC=

3

CD=

3

CE，
在Rt△BCE中，tan∠CBE=

CE

BC

=

1

3

，
∴∠CBE=30°，
故

CF

为60°，
∴F在直径BC下方的圆弧上，且

BF

=

2

3

BC

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，圆的切线的性质，圆周角的性质以及三角函数的性质等知识．此题综合性很强，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．