Question

52、如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，O为AB上一点，以O为圆心、OB长为半径的圆交BC于D，DE⊥AC交AC于E．
求证：DE是⊙O的切线．

Answer 1

分析：连OD，由OB=OD，AB=AC，可得到∠ODB=∠C，即OD∥AC，而DE⊥AC，即可得到OD⊥DE，从而得到DE是⊙O的切线．

解答：证明：连接OD，如图，
则OB=OD
∴∠OBD=∠ODB，
又∵AB=AC
∴∠OBD=∠C
∴∠ODB=∠C
∴OD∥AC
又∵DE⊥AC
∴OD⊥DE
∴DE是⊙O的切线．

点评：本题考查了圆的切线的判定方法．若直线与圆有唯一的公共点，则此直线是圆的切线；若圆心到直线的距离等于圆的半径，则此直线是圆的切线；经过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线．当已知直线过圆上一点，要证明它是圆的切线，则要连接圆心和这个点，证明这个连线与已知直线垂直即可；当没告诉直线过圆上一点，要证明它是圆的切线，则要过圆心作直线的垂线，证明垂线段等于圆的半径．同时考查了等腰三角形的性质．